Уравнения с модулем, степенями и целыми решениями

Модуль

|a| – расстояние от a до нуля на числовой прямой, поэтому |a| ≥ 0.

• Уравнение |x − a| = b при b > 0 имеет два корня: x = a + b и x = a − b.
• При b = 0 – один корень, при b < 0 корней нет.
• Если по условию x < 0 или x > 0, лишний корень отбрасывают.

Пример 1. |x − 3| = 5, x < 0. Найдите x. x = 8 или x = −2. Подходит x = −2.

Пример 2. |x| + x = 6. Найдите x. Если x < 0, то |x| + x = 0 ≠ 6. Значит x ≥ 0, 2x = 6, x = 3.

Показательные уравнения

Приведите обе части к одному основанию и приравняйте показатели.

Пример 3. 2ˣ⁺¹ = 32. 32 = 2⁵, x + 1 = 5, x = 4.

Пример 4. √(16ˣ) = 64. √(16ˣ) = 4ˣ, 64 = 4³, x = 3.

Пример 5. 10ˣ = 5ˣ⁺¹. Найдите 2ˣ. 10ˣ = 2ˣ × 5ˣ, 5ˣ⁺¹ = 5 × 5ˣ. Делим на 5ˣ: 2ˣ = 5.

Целые решения

Если x и y – целые положительные числа, выразите одну переменную и подумайте о делимости.

Пример 6. x и y – целые положительные, 2x + 5y = 60. Найдите наибольшее y. y = (60 − 2x)/5. y тем больше, чем меньше x, а 2x должно делиться на 5, то есть x кратно 5. Наименьшее x = 5: y = 50/5 = 10.

Пример 7. Сколько пар целых положительных (x; y) удовлетворяют x + 2y = 9? y может быть 1, 2, 3, 4 (тогда x = 7, 5, 3, 1). Всего 4 пары.

Типичные ошибки

• Терять второй корень уравнения с модулем.
• Забывать про ограничение «x > 0» или «целые положительные».
• Брать x = 0, когда числа должны быть положительными.