Углы и параллельные прямые

Во многих геометрических заданиях нужно найти угол x, пользуясь несколькими простыми фактами.

Базовые факты

• Смежные углы в сумме дают 180°, развёрнутый угол – 180°.
• Вертикальные углы равны.
• Сумма углов вокруг точки – 360°.
• Сумма углов треугольника – 180°. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, в равностороннем все углы по 60°.
• Сумма углов выпуклого n-угольника 180° × (n − 2). Угол квадрата 90°, правильного шестиугольника 120°.

Параллельные прямые и секущая

Если a ∥ b, то:

• соответственные углы равны: ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8;
• накрест лежащие углы равны: ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6;
• односторонние углы в сумме дают 180°: ∠4 + ∠5 = 180°, ∠3 + ∠6 = 180°.

Примеры

Пример 1. На рисунке a ∥ b и ∠1 = 52°. Найдите ∠6 и ∠7. ∠5 = ∠1 = 52° (соответственные), ∠7 = ∠5 = 52° (вертикальные). ∠6 смежен с ∠5: 180° − 52° = 128°.

Пример 2. Точка B лежит на прямой AC. Из B выходят два луча, образуя с прямой три угла: 40°, α и β, причём α : β = 2 : 5. Найдите β. 40° + α + β = 180°, α + β = 140°. 7 частей = 140°, одна часть 20°, β = 100°.

Пример 3. Квадрат и правильный шестиугольник имеют общую вершину и прилегают друг к другу сторонами. Два оставшихся угла x и y вокруг этой вершины в сумме дают? x + y = 360° − 90° − 120° = 150°.

Пример 4. Угол при вершине равнобедренного треугольника 40°. Найдите угол при основании. (180° − 40°)/2 = 70°.

Советы

• Отмечайте найденные углы прямо на рисунке – часто решение складывается в цепочку из 2–3 шагов.
• Ищите развёрнутые углы и параллельные прямые: они дают уравнения.