Длины и площади: теорема Пифагора, четырёхугольники, круг

Здесь собраны формулы, которые чаще всего нужны во второй части ОРТ.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике c² = a² + b², где c – гипотенуза. Полезные тройки: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13; 8, 15, 17.

Если в задаче не сказано, какая сторона гипотенуза, рассмотрите оба случая: при катетах 6 и 8 гипотенуза 10, а при катете 6 и гипотенузе 8 второй катет √(64 − 36) = √28 = 2√7.

Равнобедренный треугольник

Высота BH, проведённая к основанию, делит основание пополам. На рисунке AB = BC = 10, AC = 16, поэтому AH = 8, BH = √(10² − 8²) = 6, площадь ½ × 16 × 6 = 48.

Площади

• Прямоугольник: a × b; квадрат: a².
• Параллелограмм: основание × высота.
• Треугольник: ½ × основание × высота.
• Трапеция: ½ × (a + b) × h.
• Круг: πr²; длина окружности: 2πr.
• Если все длины увеличить в k раз, площадь увеличится в k² раз. Поэтому, если площади кругов относятся как 9 : 4, радиусы и длины окружностей относятся как 3 : 2.

Примеры

Пример 1. В параллелограмме ABCD высота BH опущена на AD, ∠A = 45°, AH = 5, HD = 7. Найдите площадь. Треугольник ABH прямоугольный с углом 45°, поэтому BH = AH = 5. AD = 12, S = 12 × 5 = 60.

Пример 2. Три окружности с центрами в вершинах треугольника ABC попарно касаются извне. AB = 8, BC = 9, AC = 11. Найдите радиусы. a + b = 8, b + c = 9, a + c = 11. Сложим: 2(a + b + c) = 28, a + b + c = 14. Тогда c = 14 − 8 = 6, a = 14 − 9 = 5, b = 14 − 11 = 3.

Пример 3. Периметр равнобедренного треугольника 36, боковая сторона 13. Найдите высоту к основанию. Основание 36 − 26 = 10, половина основания 5, высота √(169 − 25) = 12.

Пример 4. Из прямоугольного треугольника ABC с катетами AB = 2 и BC = 4 построен прямоугольный треугольник ACD с катетом CD = 4 и гипотенузой AD. Найдите AD. AC² = 4 + 16 = 20, AD² = 20 + 16 = 36, AD = 6.

Типичные ошибки

• Забыть, что площади относятся как квадраты длин.
• Считать высотой боковую сторону параллелограмма.