Координаты и пространственные фигуры

Координатная плоскость

• Отрезок, параллельный оси Ox, соединяет точки с одинаковой ординатой y. Его длина – разность абсцисс. На рисунке AB: 4 − (−3) = 7.
• Отрезок, параллельный оси Oy, соединяет точки с одинаковой абсциссой. BC: 2 − (−3) = 5.
• Расстояние между точками: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). AC = √(7² + 5²) = √74.
• Середина отрезка: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2). Середина AC: (0,5; −0,5).

Пример 1. Достройте ABC до прямоугольника ABCD. Найдите D, периметр и площадь. D(−3; −3). Периметр 2 × (7 + 5) = 24, площадь 7 × 5 = 35.

Пример 2. Точки M(5; −1) и N(−2; y) лежат на прямой, параллельной оси Ox. Найдите y. У всех точек такой прямой одинаковая ордината: y = −1.

Пространственные координаты

Точка (x; y; z) лежит внутри куба 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, если все три координаты между 0 и 1. Если куб построен в сторону отрицательной оси, соответствующая координата должна быть между −1 и 0.

Многогранники

• n-угольная призма: 2n вершин, 3n рёбер, n + 2 граней. Число рёбер призмы делится на 3.
• n-угольная пирамида: n + 1 вершин, 2n рёбер, n + 1 граней. Число рёбер пирамиды чётное.
• Объём призмы S × h, объём пирамиды ⅓ × S × h.

Тела вращения

• Цилиндр: площадь основания πr², боковая поверхность 2πrh, объём πr²h.
• Конус: объём ⅓πr²h.
• Шар: объём 4/3 × πr³.

Пример 3. Высота цилиндра вдвое больше радиуса основания, площадь основания 12. Найдите площадь боковой поверхности. πr² = 12, h = 2r. Боковая поверхность 2πr × 2r = 4πr² = 4 × 12 = 48. Находить r не нужно.

Пример 4. Может ли у пирамиды быть 15 рёбер? Нет: у пирамиды 2n рёбер, это чётное число.

Типичные ошибки

• Складывать координаты вместо вычитания при поиске длины.
• Путать боковую поверхность цилиндра 2πrh и объём πr²h.