Функции и последовательности

Функции

Запись f(3) означает: подставь 3 вместо x в формулу функции.

• Линейная функция f(x) = kx + b. f(0) = b, f(1) = k + b.
• Если известно одно значение, например f(2), из него находят неизвестный коэффициент.
• Если дано f(выражение) = …, подберите x так, чтобы выражение в скобках стало нужным числом.

Пример 1. f(x) = 3x − b, f(2) = 1. Найдите f(4). 6 − b = 1, b = 5. f(4) = 12 − 5 = 7.

Пример 2. Для всех x выполнено f(x − 1) = x². Найдите f(3). x − 1 = 3 при x = 4, поэтому f(3) = 4² = 16.

Последовательности

• Арифметическая прогрессия: каждый член больше предыдущего на d. aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• Геометрическая прогрессия: каждый член больше предыдущего в q раз. bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹.
• Рекуррентное правило («каждый следующий член равен…») применяют шаг за шагом.

Пример 3. a₁ = 4, d = 3. Найдите a₁₀. a₁₀ = 4 + 9 × 3 = 31.

Пример 4. Каждый следующий член последовательности равен удвоенному предыдущему минус 3. Третий член равен 5. Найдите пятый. a₄ = 2 × 5 − 3 = 7, a₅ = 2 × 7 − 3 = 11.

Пример 5. В первый месяц вклад приносит a сомов, а каждый следующий месяц – в q раз больше, чем в предыдущий. Сколько он принесёт в шестой месяц? a, aq, aq², aq³, aq⁴, aq⁵. Ответ: aq⁵.

Типичные ошибки

• В геометрической прогрессии брать показатель n вместо n − 1: шестой член – это aq⁵.
• В задаче с f(выражение) подставлять число прямо вместо x.