Тригонометрия: маанилер, формулалар жана теңдемелер

Ар бир вариантта тригонометрияга 3–4 тапшырма бар: маанисин табуу, белгисин аныктоо, туюнтманы жөнөкөйлөтүү же жөнөкөй теңдемени чыгаруу.

Маанилер жана өлчөө бирдиктери

$\displaystyle \pi\ \text{рад} = 180^{\circ}$: $\displaystyle \frac{\pi}{6} = 30^{\circ}$, $\displaystyle \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$, $\displaystyle \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$, $\displaystyle \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.

• $\displaystyle \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Чейректер боюнча белгилер

Косинус — бирдик айланадагы чекиттин абсциссасы, синус — ординатасы.

• I чейрек ($\displaystyle 0^{\circ}\text{–}90^{\circ}$): бардык функциялар оң
• II чейрек ($\displaystyle 90^{\circ}\text{–}180^{\circ}$

Мезгилдүүлүк жана келтирүү формулалары

$\displaystyle \sin$ жана $\displaystyle \cos$ $\displaystyle 360^{\circ}$ сайын, $\displaystyle \operatorname{tg}$ жана $\displaystyle \operatorname{ctg}$

• $\displaystyle \sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$, $\displaystyle \cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha$

1-мисал. $\displaystyle \sin 750^{\circ} = \sin(750^{\circ} - 720^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$

Негизги теңдештиктер

• $\displaystyle \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$
• $\displaystyle \operatorname{tg} \alpha \times \operatorname{ctg} \alpha = 1$

2-мисал. $\displaystyle \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

3-мисал. $\displaystyle \sin \alpha - \cos \alpha = 0{,}5$ болсо, $\displaystyle \sin \alpha \times \cos \alpha$ ны тапкыла. Квадратка көтөрөбүз: $\displaystyle 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0{,}25$

Жөнөкөй теңдемелер ($\displaystyle n \in Z$)

• $\displaystyle \sin x = 0 \Leftrightarrow x = \pi n$; $\displaystyle \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

4-мисал. $\displaystyle \cos^{2}x = 1 + \sin^{2}x$. $\displaystyle \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$

5-мисал. $\displaystyle 2\cos^{2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Көп кетирилген каталар

• $\displaystyle 30^{\circ}$ жана $\displaystyle 60^{\circ}$ үчүн $\displaystyle \sin$ менен $\displaystyle \cos$ ту чаташтыруу: $\displaystyle \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$