Көрсөткүчтүү жана логарифмдик теңдемелер, барабарсыздыктар

Бул тапшырмалар бир негизги эрежени текшерет: $\displaystyle y = a^{x}$ жана $\displaystyle y = \log_{a}x$ функциялары негизге жараша кандай өзгөрөт.

Баарын монотондуулук чечет

• $\displaystyle a > 1$ болсо, $\displaystyle a^{x}$ жана $\displaystyle \log_{a}x$ өсүүчү: барабарсыздыктын белгиси сакталат.

Көрсөткүчтүү теңдемелер

Эки бөлүгүн тең бир негизге келтиргиле же жалпы көбөйтүүчүнү кашаанын сыртына чыгаргыла.

1-мисал. $\displaystyle 2^{x - 1} = 32 = 2^{5}$, демек $\displaystyle x - 1 = 5$, $\displaystyle x = 6$

2-мисал. $\displaystyle 5^{x + 1} + 3 \times 5^{x} = 200$. $\displaystyle 5^{x + 1} = 5 \times 5^{x}$

Көрсөткүчтүү барабарсыздыктар

3-мисал. $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} \ge \frac{1}{27}$

4-мисал. $\displaystyle (x + 2) \times 2^{x} \le 0$. $\displaystyle 2^{x} > 0$

Логарифмдик теңдемелер

5-мисал. $\displaystyle \lg x + \lg(x - 3) = 1$. Мүмкүн болгон маанилер: $\displaystyle x > 3$. Анда $\displaystyle \lg(x(x - 3)) = \lg 10$

Логарифмдик барабарсыздыктар

6-мисал. $\displaystyle \log_{2}(x - 1) < 3$. Шарттар: $\displaystyle x - 1 > 0$ жана $\displaystyle x - 1 < 2^{3} = 8$

7-мисал. $\displaystyle \log_{0{,}5}(x + 3) > -1$. $\displaystyle -1 = \log_{0{,}5}2$

8-мисал. $\displaystyle 10^{\lg(x + 1)} < 4$. Туюнтма $\displaystyle x + 1 > 0$ болгондо маанилүү, ошондо $\displaystyle 10^{\lg(x + 1)} = x + 1$

Көп кетирилген каталар

• Негизи 1ден кичине болгондо (мисалы 0,7 же $\displaystyle \frac{1}{3}$) белгини өзгөртпөй коюу.
• Логарифмдин аныкталуу аймагын унутуп, жоопко «ашыкча» тамырды кошуу.
• $\displaystyle 10^{\lg a} = a$ ны каалагандай a үчүн туура деп эсептөө: бул $\displaystyle a > 0$