Тригонометрия: маанилер, формулалар жана теңдемелер

Ар бир вариантта тригонометрияга 3–4 тапшырма бар: маанисин табуу, белгисин аныктоо, туюнтманы жөнөкөйлөтүү же жөнөкөй теңдемени чыгаруу.

Маанилер жана өлчөө бирдиктери

$\displaystyle \pi\ \text{рад} = 180^{\circ}$: $\displaystyle \frac{\pi}{6} = 30^{\circ}$, $\displaystyle \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$, $\displaystyle \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$, $\displaystyle \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.

• $\displaystyle \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\displaystyle \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
• $\displaystyle \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\displaystyle \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1$, $\displaystyle \operatorname{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3}$; $\displaystyle \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$
• $\displaystyle \sin 0 = 0$, $\displaystyle \cos 0 = 1$, $\displaystyle \sin 90^{\circ} = 1$, $\displaystyle \cos 90^{\circ} = 0$

Чейректер боюнча белгилер

Косинус — бирдик айланадагы чекиттин абсциссасы, синус — ординатасы.

• I чейрек ($\displaystyle 0^{\circ}\text{–}90^{\circ}$): бардык функциялар оң
• II чейрек ($\displaystyle 90^{\circ}\text{–}180^{\circ}$): $\displaystyle \sin > 0$, калгандары терс
• III чейрек ($\displaystyle 180^{\circ}\text{–}270^{\circ}$): $\displaystyle \operatorname{tg}$ жана $\displaystyle \operatorname{ctg} > 0$, $\displaystyle \sin$ жана $\displaystyle \cos < 0$
• IV чейрек ($\displaystyle 270^{\circ}\text{–}360^{\circ}$): $\displaystyle \cos > 0$, калгандары терс

Мезгилдүүлүк жана келтирүү формулалары

$\displaystyle \sin$ жана $\displaystyle \cos$ $\displaystyle 360^{\circ}$ сайын, $\displaystyle \operatorname{tg}$ жана $\displaystyle \operatorname{ctg}$ $\displaystyle 180^{\circ}$ сайын кайталанат. Ашыкча толук айланууларды таштап салабыз.

• $\displaystyle \sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$, $\displaystyle \cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha$
• $\displaystyle \sin(180^{\circ} + \alpha) = -\sin \alpha$, $\displaystyle \cos(180^{\circ} + \alpha) = -\cos \alpha$, $\displaystyle \operatorname{tg}(180^{\circ} + \alpha) = \operatorname{tg} \alpha$
• $\displaystyle \sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$, $\displaystyle \cos(90^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$

1-мисал. $\displaystyle \sin 750^{\circ} = \sin(750^{\circ} - 720^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$. $\displaystyle \cos 480^{\circ} = \cos 120^{\circ} = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$. $\displaystyle \operatorname{tg} 315^{\circ} = \operatorname{tg}(315^{\circ} - 180^{\circ}) = \operatorname{tg} 135^{\circ} = -1$.

Негизги теңдештиктер

• $\displaystyle \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$
• $\displaystyle \operatorname{tg} \alpha \times \operatorname{ctg} \alpha = 1$, $\displaystyle 1 + \operatorname{tg}^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
• $\displaystyle \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, $\displaystyle \cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$
• $\displaystyle (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^{2} = 1 \pm 2 \sin \alpha \cos \alpha$

2-мисал. $\displaystyle \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

3-мисал. $\displaystyle \sin \alpha - \cos \alpha = 0{,}5$ болсо, $\displaystyle \sin \alpha \times \cos \alpha$ ны тапкыла. Квадратка көтөрөбүз: $\displaystyle 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0{,}25$, мындан $\displaystyle \sin \alpha \cos \alpha = 0{,}375$.

Жөнөкөй теңдемелер ($\displaystyle n \in Z$)

• $\displaystyle \sin x = 0 \Leftrightarrow x = \pi n$; $\displaystyle \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
• $\displaystyle \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $\displaystyle \cos x = 1 \Leftrightarrow x = 2\pi n$
• $\displaystyle \operatorname{tg} x = a \Leftrightarrow x = \operatorname{arctg} a + \pi n$

4-мисал. $\displaystyle \cos^{2}x = 1 + \sin^{2}x$. $\displaystyle \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$ деп алмаштырабыз: $\displaystyle 1 - \sin^{2}x = 1 + \sin^{2}x$, $\displaystyle \sin^{2}x = 0$, $\displaystyle x = \pi n$.

5-мисал. $\displaystyle 2\cos^{2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Көп кетирилген каталар

• $\displaystyle 30^{\circ}$ жана $\displaystyle 60^{\circ}$ үчүн $\displaystyle \sin$ менен $\displaystyle \cos$ ту чаташтыруу: $\displaystyle \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ экенин эстегиле ($\displaystyle 30^{\circ}$ бурчка каршы жаткан катет гипотенузанын жарымына барабар).
• Бурчту $\displaystyle 0^{\circ}\text{–}360^{\circ}$ аралыгына келтирбей туруп белгисин аныктоо.
• Теңдеменин жообунда «$\displaystyle + \pi n$» ди унутуу: жооп варианттарында көбүнчө $\displaystyle \pi n$ дин ордуна $\displaystyle 2\pi n$ жазылган «дээрлик туура» жооп болот.