Квадраттык функция, Виет теоремасы жана интервалдар методу

Парабола, квадраттык теңдеменин тамырлары жана көбөйтүүчүлөрү бар барабарсыздыктар — предметтик тесттин көп кездешкен темалары.

$\displaystyle y = ax^{2} + bx + c$ квадраттык функциясы

• $\displaystyle a > 0$ болсо бутактары жогору карайт (чокусунда минимум), $\displaystyle a < 0$ болсо ылдый карайт (чокусунда максимум).
• Чокусунун абсциссасы $\displaystyle x_{0} = -\frac{b}{2a}$

Дискриминант жана Виет теоремасы

$\displaystyle D = b^{2} - 4ac$. $\displaystyle D > 0$ болсо эки тамыр, $\displaystyle D = 0$

1-мисал. Топтун бийиктиги $\displaystyle h = 20t - 5t^{2}$ (метр, секунд). Топ качан эң бийик болот жана кандай бийиктикте? $\displaystyle a = -5 < 0$, чокусу $\displaystyle t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$

2-мисал. $\displaystyle y = 3x^{2} + bx + c$, тамырлары 1 жана $\displaystyle -4$. b жана c ны тапкыла. $\displaystyle x_{1} + x_{2} = -3 = -\frac{b}{3}$

3-мисал. $\displaystyle (x^{2} - 4x)(x^{2} + x + 1) = 0$ теңдемесинин канча анык тамыры бар? $\displaystyle x^{2} - 4x = x(x - 4) = 0$

Интервалдар методу

$\displaystyle (x - a)(x - b)\ldots \ge 0$ түрүндөгү барабарсыздык же бөлчөк үчүн:

1. Бардык көбөйтүүчүлөрдүн нөлдөрүн (жана бөлүмдүн нөлдөрүн) тапкыла.
2. Аларды сан огуна белгилеп, ар бир аралыктагы белгини бир санды коюп аныктагыла.
3. Жуп эселүү тамыр (квадраттагы көбөйтүүчү) аркылуу өткөндө белги өзгөрбөйт.
4. $\displaystyle 3^{x}$ же $\displaystyle x^{2} + 1$ сыяктуу оң көбөйтүүчүлөрдү дароо эле таштап салса болот.

4-мисал. $\displaystyle (x + 2)(x - 1)^{2}(x - 4) \ge 0$. Нөлдөрү: $\displaystyle -2$, 1, 4. 4төн оң жакта белги «+», 1 менен 4түн ортосунда «−», 1 аркылуу өткөндө белги өзгөрбөйт (квадрат) — дагы «−»,

5-мисал. $\displaystyle \frac{x^{2}(x + 1)}{5^{x}} \le 0$ барабарсыздыгынын эң чоң бүтүн чыгарылышы. $\displaystyle 5^{x} > 0$

Көп кетирилген каталар

• $\displaystyle x^{2} \ge 0$ туюнтмасы $\displaystyle x = 0$ болгондо нөлгө айланып, өзүнчө чыгарылыш берерин унутуу.
• Барабарсыздыкты белгиси белгисиз туюнтмага бөлүү.
• Виет теоремасында $\displaystyle -\frac{b}{a}$