Удаалаштыктар жана прогрессиялар

Предметтик тестте арифметикалык жана геометриялык прогрессиялар, ошондой эле эреже менен берилген удаалаштыктар («ар бир кийинки мүчөсү … барабар») кездешет.

Арифметикалык прогрессия

Ар бир мүчөсү мурунку мүчөгө бир эле d санын (прогрессиянын айырмасын) кошуудан алынат.

• $\displaystyle a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$
• $\displaystyle a_{m} - a_{k} = (m - k)d$
• $\displaystyle S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \times \frac{n}{2}$
• Ар бир мүчө коңшуларынын орто арифметикалыгы: $\displaystyle a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

1-мисал. $\displaystyle a_{3} = 7$, $\displaystyle a_{8} = 22$. $\displaystyle S_{10}$

Геометриялык прогрессия

Ар бир мүчөсү мурункусун бир эле q санына (прогрессиянын бөлүмүнө) көбөйтүүдөн алынат, $\displaystyle q \ne 0$.

• $\displaystyle b_{n} = b_{1} \times q^{n-1}$
• $\displaystyle \frac{b_{m}}{b_{k}} = q^{m - k}$

2-мисал. Геометриялык прогрессиянын жетинчи мүчөсү төртүнчүсүнөн 2 эсе чоң. Он үчүнчү мүчөсү төртүнчүсүнөн канча эсе чоң? $\displaystyle \frac{b_{7}}{b_{4}} = q^{3} = 2$

3-мисал. $\displaystyle 3 + 6 + 12 + \ldots + 192$. $\displaystyle q = 2$, $\displaystyle 192 = 3 \times 64 = 3 \times 2^{6}$

4-мисал. $\displaystyle 12 + 6 + 3 + \ldots$ (чексиз). $\displaystyle q = \frac{1}{2}$, $\displaystyle S = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = 24$

Эреже менен берилген удаалаштыктар

Формула жок болсо, мүчөлөрдү ирети менен жазып чыга бергиле.

5-мисал. $\displaystyle a_{1} = 1$, $\displaystyle a_{2} = 2$, ал эми үчүнчүсүнөн баштап ар бир мүчө алдындагы эки мүчөнүн көбөйтүндүсүнө барабар. $\displaystyle a_{6}$

6-мисал. Экинчисинен баштап ар бир мүчө мурунку мүчөнүн эки эселенгенинен 3кө кичине, $\displaystyle a_{1} = 5$. $\displaystyle a_{2} = 2 \times 5 - 3 = 7$

Көп кетирилген каталар

• Мүчөнүн номерин нөлдөн баштап эсептөө: $\displaystyle a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ формуласында $\displaystyle n - 1$