Векторлор жана координаталар

Предметтик тестте векторлор жана координаталар көбүнчө кесиндини берилген катышта бөлүү, карама-каршы векторлорду табуу жана тегиздиктеги, мейкиндиктеги чекиттер менен иштөө жөндөмүн текшерет.

Векторлор

• Башы $\displaystyle A(x_{1};\ y_{1})$, учу $\displaystyle B(x_{2};\ y_{2})$ болгон AB векторунун координаталары $\displaystyle (x_{2} - x_{1};\ y_{2} - y_{1})$.
• $\displaystyle BA = -AB$: узундугу ошондой, бирок карама-каршы багытталган вектор.
• $\displaystyle k > 0$ болсо $\displaystyle k \times \vec{a}$ вектору $\displaystyle \vec{a}$
• Параллель түз сызыктардагы векторлор коллинеардуу: бири экинчисин санга көбөйткөнгө барабар.

Кесиндини бөлүү

P чекити MN кесиндисинде жатып, $\displaystyle MP : PN = m : n$ болсо, $\displaystyle MP = \frac{m}{m + n} \times MN$

1-мисал. K чекити AB кесиндисинде, $\displaystyle AK : KB = 3 : 1$, AB вектору = $\displaystyle \vec{b}$

2-мисал. ABCD — трапеция, $\displaystyle BC \parallel AD$, $\displaystyle AD = 3BC$. BC жана AD векторлору багыттас, ошондуктан $\displaystyle AD = 3 \times BC$

Координаталык түз сызык

a жана b чекиттеринин ортосунда k бирдей кесинди белгиленсе, бирөөнүн узундугу $\displaystyle \frac{b - a}{k}$.

3-мисал. $\displaystyle -2$ менен 4түн ортосунда төрт бирдей кесинди бар. Бирөөнүн узундугу $\displaystyle \frac{6}{4} = 1{,}5$. Экинчи бөлүү чекити: $\displaystyle -2 + 2 \times 1{,}5 = 1$

Тегиздик

• Кесиндинин ортосу: $\displaystyle \left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2};\ \frac{y_{1} + y_{2}}{2}\right)$

4-мисал. A(1; 2), B(7; 10): ортосу (4; 6), $\displaystyle AB = \sqrt{36 + 64} = 10$.

5-мисал. Жагы 2 болгон OABC квадраты биринчи чейректе жатат, C(2; 0). D(d; 0) чекити O дон сол жакта, ал эми чокулары D, C жана B(2; 2) болгон үч бурчтуктун аянты квадраттын аянтына барабар. Негизи $\displaystyle DC = 2 - d$, бийиктиги 2: $\displaystyle \frac{1}{2} \times (2 - d) \times 2 = 4$

Бүтүн сандуу чекиттер

Эки координатасы тең бүтүн сан болгон чекит бүтүн сандуу чекит деп аталат. (0; 0) дон (6; 4) кө чейинки кесиндиде мындай чекиттер (0; 0), (3; 2), (6; 4): алардын саны $\displaystyle \text{ЭЧОБ}(6;\ 4) + 1 = 3$. $\displaystyle \lvert x \rvert + \lvert y \rvert = 1$ фигурасы — чокулары $\displaystyle (\pm1;\ 0)$

Oxyz мейкиндиги

• Oxy тегиздигинде $\displaystyle z = 0$, Oyz те $\displaystyle x = 0$, Oxz те $\displaystyle y = 0$.
• Ox огунда эки координата нөлгө барабар: (a; 0; 0).
• Кесиндинин эки учу тең тегиздикте жатса, кесинди ошол тегиздикте жатат.

6-мисал. $\displaystyle (3;\ 0;\ -2)$ чекити Oxz тегиздигинде, ал эми (0; 5; 1) Oyz тегиздигинде жатат.

Көп кетирилген каталар

• MP жана PM векторлорун чаташтыруу (белгиси!).
• Бөлүктөрдүн катышын (2 : 3) бүтүндөн алынган үлүш ($\displaystyle \frac{2}{5}$) менен чаташтыруу.
• Координаталар менен эмес, сүрөт боюнча эсептөө.