Подстановка чисел: когда правильный ответ «Г»

Если в колонках есть буквы, самый надёжный способ проверки – подставить несколько разных чисел. Если при одних значениях больше А, а при других больше Б (или величины равны), ответ Г.

Какие числа подставлять

• 0 и 1 – при них многие выражения совпадают ($\displaystyle 0^{2} = 0$, $\displaystyle 1^{2} = 1$).
• Отрицательное число, например −1 или −2.
• Дробь между 0 и 1, например $\displaystyle \frac{1}{2}$.
• Отрицательную дробь, например $\displaystyle -\frac{1}{2}$.
• Большое число, например 10.

Подставлять нужно только значения, которые разрешены условием. Если сказано «$\displaystyle n$ – целое положительное», дроби и отрицательные числа не годятся.

Как ведут себя $\displaystyle x$, $\displaystyle x^{2}$ и $\displaystyle x^{3}$

По графикам видно:

• при $\displaystyle x > 1$: $\displaystyle x^{3} > x^{2} > x$;
• при $\displaystyle 0 < x < 1$

Значит, сравнение $\displaystyle x$ и $\displaystyle x^{2}$ без условия на $\displaystyle x$ всегда даёт ответ Г.

Примеры

Пример 1. Колонка А: $\displaystyle x^{2}$. Колонка Б: $\displaystyle x$. Условия нет. $\displaystyle x = 2$: $\displaystyle 4 > 2$, больше А. $\displaystyle x = \frac{1}{2}$

Пример 2. Условие: $\displaystyle x < 0$. Колонка А: $\displaystyle x^{3}$. Колонка Б: $\displaystyle x^{2}$. При $\displaystyle x < 0$

Пример 3. Условие: $\displaystyle n$ – целое число. Колонка А: $\displaystyle n^{2}$. Колонка Б: $\displaystyle n$. При $\displaystyle n = 0$ и $\displaystyle n = 1$

Пример 4. Условие: $\displaystyle a > b$. Колонка А: $\displaystyle a^{2}$. Колонка Б: $\displaystyle b^{2}$. $\displaystyle a = 3$

Подстановка не доказывает «А», «Б» или «В»

Если три подстановки дали один и тот же результат, это ещё не доказательство. Чтобы уверенно выбрать А, Б или В, проверьте рассуждением. Например, при $\displaystyle x > 0$ из $\displaystyle x(x - y) > 0$ следует $\displaystyle x - y > 0$

Типичные ошибки

• Подставлять только «удобные» положительные целые числа и пропускать 0, отрицательные числа и дроби.
• Забывать, что «равно при некоторых значениях, больше при других» – это тоже ответ Г.
• Подставлять значения, которые запрещены условием.