Сравнение чисел без калькулятора: дроби, корни, степени

Многие задания первой части – это сравнение двух чисел, которые неудобно вычислять точно. Нужны приёмы, позволяющие сравнить быстро.

Приёмы

• Сравнение с 1. Дробь с числителем меньше знаменателя меньше 1, с числителем больше знаменателя – больше 1. Например, $\displaystyle \frac{47}{50} < 1 < \frac{50}{47}$.
• Крест-накрест. Для положительных дробей $\displaystyle \frac{a}{b} > \frac{c}{d}$, если $\displaystyle a \times d > b \times c$
• Десятичные дроби сравнивают поразрядно, дописав нули: 2,5 и $\displaystyle 2{,}46 \to 2{,}50 > 2{,}46$.
• Отрицательные числа. Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше: $\displaystyle -0{,}3 > -0{,}4$.
• Корни. Положительные числа можно возвести в квадрат: если $\displaystyle a^{2} > b^{2}$, то и $\displaystyle a > b$.
• Степени. Приводят к одинаковому основанию или к одинаковому показателю.
• Знак степени. Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная – отрицательна.
• Основание между 0 и 1. Чем больше показатель, тем меньше значение: $\displaystyle (0{,}5)^{10} < (0{,}5)^{3}$.
• Разность квадратов: $\displaystyle a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$.

Примеры

Пример 1. Колонка А: $\displaystyle \frac{13}{17}$. Колонка Б: $\displaystyle \frac{14}{19}$. $\displaystyle 13 \times 19 = 247$

Пример 2. Колонка А: $\displaystyle -\frac{5}{6}$. Колонка Б: −0,8. $\displaystyle \frac{5}{6} \approx 0{,}83 > 0{,}8$

Пример 3. Колонка А: $\displaystyle 3\sqrt{2}$. Колонка Б: $\displaystyle 2\sqrt{5}$

Пример 4. Колонка А: $\displaystyle 2^{30}$. Колонка Б: $\displaystyle 3^{20}$. $\displaystyle 2^{30} = (2^{3})^{10} = 8^{10}$

Пример 5. Колонка А: $\displaystyle 51^{2} - 49^{2}$. Колонка Б: 200. $\displaystyle 51^{2} - 49^{2} = (51 - 49)(51 + 49) = 2 \times 100 = 200$

Пример 6. Колонка А: $\displaystyle \frac{2^{10} - 2^{9}}{2^{8}}$. Колонка Б: 2. Делим почленно: $\displaystyle \frac{2^{10}}{2^{8}} - \frac{2^{9}}{2^{8}} = 4 - 2 = 2$

Типичные ошибки

• Считать, что $\displaystyle 3{,}134 > 3{,}14$, потому что «цифр больше». Сравнивайте разряды.
• Перемножать крест-накрест отрицательные дроби – правило верно только для положительных.
• Забывать, что $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$