Сандар: модуль, бүтүн бөлүгү, бөлүнүүчүлүк жана акыркы цифра

Предметтик тесттин дээрлик ар бир вариантында «сандарга» 3–5 тапшырма болот: модулду, бөлчөк бөлүгүн, даражанын акыркы цифрасын, жөнөкөй көбөйтүүчүлөрдүн санын же теңдеменин бүтүн чыгарылыштарын табуу. Бир нече эрежени билсеңиз, алар тез чыгат.

Сандын модулу

a ≥ 0 болсо |a| = a, ал эми a < 0 болсо |a| = −a. Модуль эч качан терс болбойт: |−7| = 7, |0| = 0.

• x < 0 экени белгилүү болсо, |x| = −x (бул оң сан).
• Каалагандай a үчүн √(a²) = |a|, ал эми ³√(a³) = a (куб тамыр белгини сактайт).
• |a − b| — сан огундагы a жана b чекиттеринин ортосундагы аралык.

1-мисал. −7,2 < x < −6,1 жана x бүтүн сан болсо, |x| ти тапкыла. −7,2 менен −6,1 дин ортосунда бир гана бүтүн сан бар: −7. Демек, |x| = 7. Көп кездешкен тузак — −7 жообун тандоо: модуль терс болбойт.

Бүтүн жана бөлчөк бөлүгү

[x] — x тен ашпаган эң чоң бүтүн сан. Бөлчөк бөлүгү {x} = x − [x], ал дайыма 0 ≤ {x} < 1 аралыгында болот.

• [3,7] = 3, {3,7} = 0,7.
• [−0,2] = −1 (0 эмес!), ошондуктан {−0,2} = −0,2 − (−1) = 0,8.

2-мисал. {3,7} + {−0,2} = 0,7 + 0,8 = 1,5.

Даражанын акыркы цифрасы

Даражалардын акыркы цифралары эң көп дегенде 4 кадам сайын кайталанат:

• 2: 2, 4, 8, 6, 2, …
• 3: 3, 9, 7, 1, 3, …
• 7: 7, 9, 3, 1, 7, …
• 4: 4, 6, 4, 6, … жана 9: 9, 1, 9, 1, …
• 0, 1, 5, 6 каалагандай натуралдык даражада ошол эле цифра менен бүтөт.

3²⁰²⁶ нын акыркы цифрасын табуу үчүн көрсөткүчтү 4кө бөлөбүз: 2026 = 4 × 506 + 2. Калдык 2, демек акыркы цифра 3² ныкындай, башкача айтканда 9. Эсиңизде болсун: a⁰ = 1.

3-мисал. 2¹⁰ + 7³ түн акыркы цифрасы: 10ду 4кө бөлгөндөгү калдык 2, ошондуктан 2¹⁰ 4 менен бүтөт; 7³ 3 менен бүтөт. Сумма 4 + 3 = 7 менен бүтөт. Текшерүү: 1024 + 343 = 1367.

Жөнөкөй көбөйтүүчүлөр жана бөлүүчүлөр

Негизди жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратып, көрсөткүчтөрдү көбөйтөбүз: 12⁵ = (2² × 3)⁵ = 2¹⁰ × 3⁵. Бардык жөнөкөй көбөйтүүчүлөр (кайталанганын кошо эсептегенде) 10 + 5 = 15, ар түрдүүсү экөө (2 жана 3). Эгерде n = p^a × q^b болсо, n дин бардык бөлүүчүлөрүнүн саны (a + 1)(b + 1); 12⁵ те алар 11 × 6 = 66.

Бүтүн чыгарылыштар

4-мисал. x жана y — натуралдык сандар, x² + 2y² = 19. x + y ти тапкыла. 2y² < 19 болгондуктан y ≤ 3. Текшеребиз: y = 1 → x² = 17 (жок); y = 2 → x² = 11 (жок); y = 3 → x² = 1, x = 1. Жообу: x + y = 4.

Эгерде m = n + 6/n жана m, n бүтүн сандар болсо, n 6нын бөлүүчүсү болушу керек: n ∈ {±1; ±2; ±3; ±6}. Андан кийин жооп варианттарын текшеребиз.

Сандын цифралар менен жазылышы

Цифралары x жана y болгон эки орундуу сан 10x + y ке, цифралары a, b, c болгон үч орундуу сан 100a + 10b + c ге барабар. x менен y тин ортосуна 5 цифрасын жазсак, 100x + 50 + y пайда болот.

Көп кетирилген каталар

• [−2,4] = −3 тү «бөлчөк бөлүгүн таштап салуу» (−2) менен чаташтыруу.
• √(a²) = |a| экенин унутуу (a эмес).
• Бардык жөнөкөй көбөйтүүчүлөрдүн ордуна ар түрдүүлөрүн эсептөө (же тескерисинче): суроону кунт коюп окугула.