Логарифмдер: аныктамасы жана касиеттери

Логарифмдер предметтик тесттин ар бир вариантында бар: маанисин эсептөө, логарифмдердин барабардыгынан x ти табуу, логарифмдин белгисин аныктоо.

Аныктамасы

logₐb — b ны алуу үчүн a ны көтөрүү керек болгон даражанын көрсөткүчү: logₐb = c ⇔ aᶜ = b, мында a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Белгилөөлөр: lg b = log₁₀b (ондук логарифм), ln b = logₑb (натуралдык логарифм, e ≈ 2,718).

Негизги касиеттери

• Негизги логарифмдик теңдештик: a^(logₐb) = b; мисалы 10^(lg 7) = 7
• logₐ1 = 0, logₐa = 1
• logₐ(bc) = logₐb + logₐc
• logₐ(b/c) = logₐb − logₐc
• logₐ(bᵖ) = p × logₐb
• log_(aᵏ) b = (1/k) × logₐb
• Жаңы негизге өтүү: logₐb = log_c b / log_c a
• logₐb × log_b a = 1

Логарифмдин белгиси

a жана b 1дин «бир тарабында» жатса (экөө тең 1ден чоң же экөө тең 0 менен 1дин ортосунда), logₐb > 0. Алар «ар башка тарапта» болсо, logₐb < 0: log₀,₅7 < 0, log₃0,5 < 0, ал эми log₀,₅0,2 > 0.

Чыгарылган мисалдар

1-мисал. 5^(3 × log₅2) = 5^(log₅2³) = 5^(log₅8) = 8. Логарифмдин алдындагы көбөйтүүчүнү адегенде логарифмдин астындагы сандын көрсөткүчүнө өткөрөбүз.

2-мисал. 7^(½ × log₇9) = 7^(log₇√9) = 7^(log₇3) = 3.

3-мисал. 2^(log₂3 + 1) = 2^(log₂3) × 2¹ = 3 × 2 = 6.

4-мисал. log₂12 − log₂3 = log₂(12/3) = log₂4 = 2.

5-мисал. log₉27 = log₄x болсо, x ти тапкыла. 3түн даражалары аркылуу жазабыз: log₉27 = log_(3²)(3³) = 3/2. Анда log₄x = 3/2, x = 4^(3/2) = (√4)³ = 8.

6-мисал. log₅x = log₅6 + log₅2 − log₅4 болсо, x = 6 × 2 / 4 = 3.

7-мисал. 0 < a < 1 жана b > 1 болсун. Анда logₐb < 0 (сандар 1дин ар башка тарабында), log_b a < 0, ал эми logₐ(a²) = 2 > 0.

Кантип тезирээк чыгаруу керек

• Сандарды бир жөнөкөй негизге келтиргиле: 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 9 = 3², 27 = 3³.
• Негиздери бирдей логарифмдердин суммасы — көбөйтүндүнүн логарифми.
• Көрсөткүчтө логарифм турса, негизги теңдештикти колдонгула.

Көп кетирилген каталар

• logₐ(b + c) ≠ logₐb + logₐc.
• logₐb / logₐc ≠ logₐ(b/c); бул тийинди log_c b га барабар.
• Мүмкүн болгон маанилердин аймагын унутуу: логарифмдин астында оң сандар гана болот, негизи оң жана 1ге барабар эмес.