Көрсөткүчтүү жана логарифмдик теңдемелер, барабарсыздыктар

Бул тапшырмалар бир негизги эрежени текшерет: y = aˣ жана y = logₐx функциялары негизге жараша кандай өзгөрөт.

Баарын монотондуулук чечет

• a > 1 болсо, aˣ жана logₐx өсүүчү: барабарсыздыктын белгиси сакталат.
• 0 < a < 1 болсо, алар кемүүчү: барабарсыздыктын белгиси карама-каршыга өзгөрөт.
• Каалагандай x те aˣ > 0; ошондуктан aˣ ке тынч эле бөлүп же көбөйтүүгө болот — белги өзгөрбөйт.
• logₐx x > 0 болгондо гана аныкталган (муну дайыма текшериш керек).

Көрсөткүчтүү теңдемелер

Эки бөлүгүн тең бир негизге келтиргиле же жалпы көбөйтүүчүнү кашаанын сыртына чыгаргыла.

1-мисал. 2^(x − 1) = 32 = 2⁵, демек x − 1 = 5, x = 6.

2-мисал. 5^(x + 1) + 3 × 5ˣ = 200. 5^(x + 1) = 5 × 5ˣ, ошондуктан 5ˣ × (5 + 3) = 200, 5ˣ = 25, x = 2. Эгерде тапшырмада x тин ордуна, мисалы, 2 × 5^(x + 1) суралса, x ти издөөнүн кереги жок: 2 × 5 × 25 = 250.

Көрсөткүчтүү барабарсыздыктар

3-мисал. (1/3)^(2x − 1) ≥ 1/27. 1/27 = (1/3)³. Негизи 1/3 < 1, белги өзгөрөт: 2x − 1 ≤ 3, x ≤ 2. Жообу: (−∞; 2].

4-мисал. (x + 2) × 2ˣ ≤ 0. 2ˣ > 0 болгондуктан x + 2 ≤ 0 жетиштүү, башкача айтканда x ≤ −2.

Логарифмдик теңдемелер

5-мисал. lg x + lg(x − 3) = 1. Мүмкүн болгон маанилер: x > 3. Анда lg(x(x − 3)) = lg 10, x² − 3x − 10 = 0, x = 5 же x = −2. x = −2 туура келбейт. Жообу: x = 5.

Логарифмдик барабарсыздыктар

6-мисал. log₂(x − 1) < 3. Шарттар: x − 1 > 0 жана x − 1 < 2³ = 8. Демек, 1 < x < 9. Бүтүн чыгарылыштар жетөө: 2, 3, …, 8.

7-мисал. log₀,₅(x + 3) > −1. −1 = log₀,₅2, негизи 1ден кичине, белги өзгөрөт: 0 < x + 3 < 2, башкача айтканда −3 < x < −1.

8-мисал. 10^(lg(x + 1)) < 4. Туюнтма x + 1 > 0 болгондо маанилүү, ошондо 10^(lg(x + 1)) = x + 1. Натыйжада −1 < x < 3.

Көп кетирилген каталар

• Негизи 1ден кичине болгондо (мисалы 0,7 же 1/3) белгини өзгөртпөй коюу.
• Логарифмдин аныкталуу аймагын унутуп, жоопко «ашыкча» тамырды кошуу.
• 10^(lg a) = a ны каалагандай a үчүн туура деп эсептөө: бул a > 0 болгондо гана туура.
• «Эң кичине бүтүн чыгарылыш» деген суроодо чек ара чекитин текшергиле: ал барабарсыздык катаал эмес болгондо гана кирет.