Функциялар: аныкталуу аймагы, жуптугу жана графиктери

Предметтик тестте функциялар ар кандай түрдө кездешет: аныкталуу аймагын табуу, жуп же так экенин текшерүү, бөлүктөп берилген функциянын маанисин эсептөө, формула боюнча графикти таануу.

Аныкталуу аймагы

Формула маанилүү боло турган x тин маанилерин издейбиз:

• бөлүмү ≠ 0;
• жуп даражадагы тамырдын астында — туюнтма ≥ 0;
• логарифмдин астында — туюнтма > 0.

1-мисал. y = √(9 − x²)/(x − 2) функциясынын аныкталуу аймагында канча бүтүн сан бар? 9 − x² ≥ 0 болсо −3 ≤ x ≤ 3 (бүтүн сандар: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 — жети сан). Алардын ичинен x = 2 ни алып салабыз. Жообу: 6.

Жуп жана так функциялар

• Жуп функция: f(−x) = f(x); графиги Oy огуна карата симметриялуу. Мисалдар: x², |x|, cos x.
• Так функция: f(−x) = −f(x); графиги координаталардын башталышына карата симметриялуу. Мисалдар: x³, 1/x, ³√x, sin x, tg x.
• Милдеттүү шарт — аныкталуу аймагы 0гө карата симметриялуу болушу керек. Ошондуктан √x жуп да, так да эмес.
• |x + 1| да жуп да, так да эмес: жылдыруу симметрияны бузат.

2-мисал. f — так функция, f(2) = 5. Анда f(−2) = −5 жана f(2) + f(−2) = 0. Так функция нөлдө аныкталса, f(0) = 0.

Бөлүктөп берилген функциялар жана татаал функция

3-мисал. x < 1 болгондо f(x) = x² − 1, x ≥ 1 болгондо f(x) = 3 − x. f(f(−2)) ни тапкыла. −2 < 1, ошондуктан f(−2) = 4 − 1 = 3. Андан кийин 3 ≥ 1, ошондуктан f(3) = 3 − 3 = 0. Ар бир жолу адегенде берилген x үчүн кайсы формула иштээрин тандагыла.

Сызыктуу функция

y = kx + b: b — Oy огу менен кесилишкен чекит, k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) — бурчтук коэффициент. (0; −2) жана (4; 0) чекиттери аркылуу өткөн түз сызык: k = 2/4 = ½, y = ½x − 2.

Графиктерди өзгөртүү

• y = f(x) + b — b бирдикке жогору жылдыруу (b < 0 болсо ылдый)
• y = f(x − a) — a бирдикке оңго жылдыруу (y = |x − 2| нин чокусу x = 2 чекитинде)
• y = −f(x) — Ox огуна карата чагылдыруу
• y = f(−x) — Oy огуна карата чагылдыруу
• y = k × f(x) — вертикал боюнча k эсе созуу; функциянын нөлдөрү ордунда калат

Оң жактагы сүрөттө f(x) түз сызыгы (0; 2) жана (3; 0) аркылуу өтөт. 2f(x) графигинин нөлү ошол эле (x = 3), ал эми Oy менен кесилишүүсү (0; 4) болуп калды; −f(x) те — (0; −2).

4-мисал. Графиги (0; −2) жана (4; 0) аркылуу өткөн f(x) үчүн y = 3f(x) графиги (4; 0) жана (0; −6) аркылуу өтөт.

Модулу бар графиктер

y = |x − a| + b — чокусу (a; b) чекитинде болгон «бурчтук». Анын y = c түз сызыгы менен кесилишин табуу үчүн |x − a| = c − b теңдемесин чыгаргыла: c > b болсо эки чыгарылыш болот. 5-мисал. |x − 2| + 1 = 4 болсо |x − 2| = 3, x = −1 же x = 5. y = 4 түз сызыгындагы бул чекиттердин ортосундагы кесиндинин узундугу 6.

Көп кетирилген каталар

• Аныкталуу аймагын карабай туруп жуптукту текшерүү.
• Жылдыруунун багытын чаташтыруу: f(x − 2) солго эмес, оңго жылдырат.
• Бөлүктөп берилген функцияда чек арадагы x ти туура эмес формулага коюу (≥ белгиси кайсы жерде турганын карагыла).