Туунду: эрежелери жана геометриялык мааниси

Туунду негизги тестте жок, бирок предметтик тесттин ар бир вариантында кездешет: f′(x) ти эсептөө, чекиттеги f′ ти табуу, график боюнча туундунун белгисин аныктоо, жанымасы горизонталдуу болгон чекитти табуу.

Туундулардын таблицасы

• c′ = 0, (kx + b)′ = k
• (xⁿ)′ = n × xⁿ⁻¹; мисалы (x⁵)′ = 5x⁴, (x⁻²)′ = −2x⁻³
• (√x)′ = 1/(2√x), (1/x)′ = −1/x²
• (eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ × ln a
• (ln x)′ = 1/x
• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x

Эрежелер

• (f + g)′ = f′ + g′, (c × f)′ = c × f′
• (f × g)′ = f′g + fg′
• (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
• Татаал функция: (f(kx + b))′ = k × f′(kx + b); мисалы (sin 3x)′ = 3cos 3x, (e^(2x))′ = 2e^(2x)

Кеңеш: 1/(x + 1)³ сыяктуу бөлчөктөрдү (x + 1)⁻³ түрүндө жазган ыңгайлуу, ал эми ln(1/x) же ln(x²) ти туундуну алуудан мурун логарифмдин касиеттери менен жөнөкөйлөткүлө.

Чыгарылган мисалдар

1-мисал. f(x) = ln(x²). ln(x²) = 2 ln|x| болгондуктан f′(x) = 2/x.

2-мисал. g(x) = 1/(x + 1)³ = (x + 1)⁻³. g′(x) = −3(x + 1)⁻⁴ = −3/(x + 1)⁴; g′(1) = −3/16.

3-мисал. y = x² − 3x графигине x₀ = 2 чекитинде жүргүзүлгөн жаныма. f(2) = 4 − 6 = −2, f′(x) = 2x − 3, f′(2) = 1. Жаныманын теңдемеси: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) = −2 + (x − 2) = x − 4.

Геометриялык мааниси

f′(x₀) — x₀ чекитиндеги жаныманын бурчтук коэффициенти, башкача айтканда анын Ox огуна жантаюу бурчунун тангенси.

• Жаныма Ox огуна параллель ⇔ f′(x₀) = 0.
• Аралыкта f′(x) > 0 болсо, функция ал жерде өсөт; f′(x) < 0 болсо — кемийт.
• Жылмакай функциянын максимум жана минимум чекиттеринде f′ = 0.

Сүрөттө f(x) = x³/3 − x, f′(x) = x² − 1. Функция x < −1 жана x > 1 болгондо өсөт (f′ > 0), (−1; 1) аралыгында кемийт (f′ < 0), ал эми x = ±1 чекиттеринде жаныма горизонталдуу.

4-мисал. f(x) = cos 3x графигинин кайсы чекиттеринде жаныма Ox огуна параллель? f′(x) = −3 sin 3x = 0 ⇔ sin 3x = 0 ⇔ x = πn/3. Мисалы, x = π/3 болгондо графиктин чекити (π/3; −1).

5-мисал. Функциянын графиги боюнча f′(a), f′(b), f′(c), f′(d) сандарынын ичинен терсин тандоо керек. График ылдый түшкөн (солдон оңго карай) чекитти издегиле. «Дөбөнүн» же «чуңкурдун» чокусунда туунду терс эмес, нөлгө барабар.

Көп кетирилген каталар

• Татаал функциядагы k көбөйтүүчүсүн унутуу: (sin 3x)′ ≠ cos 3x.
• (cos x)′ = −sin x тин белгиси.
• Терс санды так даражага көтөргөндө белгини жоготуу: (−3)³ = −27, ошондуктан −2/(−3)³ = 2/27.
• Функциянын белгиси менен туундунун белгисин чаташтыруу: функция терс болуп туруп да өсө алат.