Удаалаштыктар жана прогрессиялар

Предметтик тестте арифметикалык жана геометриялык прогрессиялар, ошондой эле эреже менен берилген удаалаштыктар («ар бир кийинки мүчөсү … барабар») кездешет.

Арифметикалык прогрессия

Ар бир мүчөсү мурунку мүчөгө бир эле d санын (прогрессиянын айырмасын) кошуудан алынат.

• aₙ = a₁ + (n − 1)d
• aₘ − aₖ = (m − k)d
• Sₙ = (a₁ + aₙ) × n/2
• Ар бир мүчө коңшуларынын орто арифметикалыгы: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2

1-мисал. a₃ = 7, a₈ = 22. S₁₀ ду тапкыла. a₈ − a₃ = 5d = 15, d = 3, a₁ = 7 − 2 × 3 = 1, a₁₀ = 1 + 9 × 3 = 28. S₁₀ = (1 + 28) × 10/2 = 145.

Геометриялык прогрессия

Ар бир мүчөсү мурункусун бир эле q санына (прогрессиянын бөлүмүнө) көбөйтүүдөн алынат, q ≠ 0.

• bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹
• bₘ / bₖ = q^(m − k) — тест үчүн эң пайдалуу формула
• q ≠ 1 болгондо Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
• Чексиз кемүүчү прогрессия (|q| < 1): S = b₁/(1 − q)
• bₙ² = bₙ₋₁ × bₙ₊₁

2-мисал. Геометриялык прогрессиянын жетинчи мүчөсү төртүнчүсүнөн 2 эсе чоң. Он үчүнчү мүчөсү төртүнчүсүнөн канча эсе чоң? b₇/b₄ = q³ = 2. b₁₃/b₄ = q⁹ = (q³)³ = 8. Жообу: 8 эсе. Байкагыла: q ну табуунун кереги жок, керектүү даражаны q³ аркылуу туюнтуу жетиштүү.

3-мисал. 3 + 6 + 12 + … + 192. q = 2, 192 = 3 × 64 = 3 × 2⁶, демек мүчөлөр жетөө. S₇ = 3 × (2⁷ − 1)/(2 − 1) = 3 × 127 = 381.

4-мисал. 12 + 6 + 3 + … (чексиз). q = ½, S = 12/(1 − ½) = 24.

Эреже менен берилген удаалаштыктар

Формула жок болсо, мүчөлөрдү ирети менен жазып чыга бергиле.

5-мисал. a₁ = 1, a₂ = 2, ал эми үчүнчүсүнөн баштап ар бир мүчө алдындагы эки мүчөнүн көбөйтүндүсүнө барабар. a₆ ны тапкыла. a₃ = 1 × 2 = 2, a₄ = 2 × 2 = 4, a₅ = 2 × 4 = 8, a₆ = 4 × 8 = 32.

6-мисал. Экинчисинен баштап ар бир мүчө мурунку мүчөнүн эки эселенгенинен 3кө кичине, a₁ = 5. a₂ = 2 × 5 − 3 = 7, a₃ = 11, a₄ = 19, a₅ = 35.

Көп кетирилген каталар

• Мүчөнүн номерин нөлдөн баштап эсептөө: aₙ = a₁ + (n − 1)d формуласында n − 1 турат.
• «Канча эсе» деген маселелерде номерлерди туура эмес кемитүү: b₁₀/b₄ = q⁶, q⁴ эмес.
• «Алдындагы эки мүчөнүн суммасына барабар» менен «алдындагы бардык мүчөлөрдүн суммасына барабар» дегенди чаташтыруу. Мүчөлөрдү жазуудан мурун шартты кайра окугула.