Текст маселелер: пайыздар, аралашмалар, кыймыл жана комбинаторика

Предметтик тесттин тапшырмаларынын төрттөн бирине жакыны — «турмуштук» маселелер. Эң негизгиси — туюнтманы же теңдемени туура түзүү.

Пайыздар

• A нын p% ы A × p/100 гө барабар.
• p% га көбөйтүү: A × (1 + p/100); p% га азайтуу: A × (1 − p/100).
• B чоңдугу бүтүндүн p% ын түзсө, бүтүн B : (p/100) гө барабар.

Кургак зат жана аралашмалар

Суу бууланганда (кургатканда, кайнатканда) «кургак» заттын массасы өзгөрбөйт. Теңдеме ушундан түзүлөт.

1-мисал. Жүзүмдүн 80% ы суу. 50 кг жүзүмдөн нымдуулугу 20% болгон канча мейиз чыгат? Кургак зат: 50 × 0,2 = 10 кг. Мейиздеги кургак зат 80% ды түзөт, демек мейиздин массасы 10 : 0,8 = 12,5 кг.

2-мисал. 20 кг 6 пайыздык туз эритмесинен суу буулантылып, концентрациясы 8% болуп калды. Канча суу бууланган? Туз 20 × 0,06 = 1,2 кг. Жаңы масса 1,2 : 0,08 = 15 кг. 5 кг суу бууланган.

Орточо маани

Орточо маани = бардык маанилердин суммасы : алардын саны («орточолордун орточосу» эмес!).

3-мисал. Үч жумушчу 15000 сомдон, экөө 20000 сомдон алат. Орточо айлык: (3 × 15000 + 2 × 20000) : 5 = 85000 : 5 = 17000 сом.

Дарыядагы кыймыл

Агым боюнча ылдамдык v + u, агымга каршы v − u, мында v — өздүк ылдамдык, u — агымдын ылдамдыгы.

4-мисал. Кайык 60 км жолду агым боюнча 3 саатта, агымга каршы 5 саатта өтөт. v + u = 20, v − u = 12, мындан v = 16 км/саат, u = 4 км/саат.

Тамгалар менен маселелер

5-мисал. a дептер жана b калем үчүн c сом төлөндү; калем дептерден 2 эсе арзан. Дептер канча турат? Дептер t сом, калем t/2 сом болсун. at + bt/2 = c, t(2a + b)/2 = c, t = 2c/(2a + b). Жоопту сан коюп текшергиле: a = 1, b = 2, t = 10 болсо c = 20, ал эми формула 40/4 = 10 берет.

Комбинаторика жана ыктымалдык

• n ар түрдүү буюмдун орун алмаштыруулары: n! = 1 × 2 × … × n (5! = 120, 6! = 720).
• n нерседен k ны тартибин эске алып тандоо: n × (n − 1) × … (k көбөйтүүчү).
• n нерседен k ны тартибин эске албай тандоо: Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!).
• Ыктымалдык P = (ыңгайлуу учурлардын саны) : (бардык учурлардын саны).

6-мисал. 7 окуучунун ичинен староста, анын орун басары жана казыначы шайланат: 7 × 6 × 5 = 210 ыкма. Жөн гана үч кезметчи тандалса, тартип маанилүү эмес: 210 : 3! = 35.

7-мисал. Оюн кубиги ташталат. 4төн чоң сандын түшүү ыктымалдыгы: 5 жана 6, P = 2/6 = 1/3.

Кантип жаңылбаш керек

• Белгисизди бир тамга менен белгилеп, ал эмнени билдирерин жазып алгыла.
• Ар башка чоңдуктардын пайыздарын кошууга болбойт.
• Жоопту акыл-эс менен салыштыргыла: буулантуудан кийин масса азаят, кургатуудан кийин да.