Планиметрия: үч бурчтуктар

Үч бурчтуктарга тапшырмалар ар бир вариантта бар: бурчту, жакты, бурчтун синусун же аянтты табуу, үч бурчтук жашай алабы деп текшерүү.

Негизги фактылар

• Үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы 180°; тышкы бурч ага чектеш эмес эки ички бурчтун суммасына барабар.
• Үч бурчтуктун барабарсыздыгы: ар бир жагы калган эки жагынын суммасынан кичине.
• Тең капталдуу үч бурчтуктун негизиндеги бурчтары барабар.
• Тик бурчтуу үч бурчтукта: c² = a² + b²; 30° бурчка каршы жаткан катет гипотенузанын жарымына барабар; sin = каршы жаткан катет : гипотенуза, cos = жанындагы катет : гипотенуза, tg = каршы жаткан катет : жанындагы катет.
• Биссектрисалар ичтен сызылган айлананын борборунда кесилишет; медианалар кесилишүү чекитинде чокудан баштап 2 : 1 катышында бөлүнөт.

Синустар жана косинустар теоремалары

• Синустар теоремасы: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, R — сырттан сызылган айлананын радиусу.
• Косинустар теоремасы: c² = a² + b² − 2ab × cos C.
• Пайдалуу: sin 150° = sin 30° = ½, sin 120° = sin 60° = √3/2, sin 135° = √2/2.

Аянт

• S = ½ × a × h
• S = ½ × a × b × sin C (C — a жана b жактарынын ортосундагы бурч)
• sin C ≤ 1 болгондуктан, берилген a жана b жактарында аянт ½ab дан ашпайт, эң чоң мааниси бурч тик болгондо болот.

Чыгарылган мисалдар

1-мисал. Тең капталдуу үч бурчтуктун бир жагы 4 см, экинчиси 9 см. Периметрин тапкыла. Каптал жактары 4төн болсо, 4 + 4 < 9 — мындай үч бурчтук жок. Демек, жактары 9, 9, 4, периметри 22 см.

2-мисал. ABC үч бурчтугунда ∠A = 45°, BC = 6, AB = 3. Сырттан сызылган айлананын радиусун жана sin C ны тапкыла. 2R = BC/sin A = 6 : (√2/2) = 6√2, R = 3√2. sin C = AB/(2R) = 3/(6√2) = √2/4.

3-мисал. Эки жагы 5 жана 8, алардын ортосундагы бурч 60°. Аянтын жана үчүнчү жагын тапкыла. S = ½ × 5 × 8 × (√3/2) = 10√3. c² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × ½ = 49, c = 7.

4-мисал. A жана B бурчтарынын биссектрисалары I чекитинде кесилишет, ∠A = 70°, ∠B = 50°. ∠AIB ны тапкыла. ∠IAB = 35°, ∠IBA = 25°, ∠AIB = 180° − 35° − 25° = 120°. ∠AIB = 90° + ∠C/2 = 90° + 30° формуласын эстеп алса да болот.

5-мисал. Жактары 10 жана 7 болгон үч бурчтуктун аянты 40 болушу мүмкүнбү? Жок: эң чоң аянт ½ × 10 × 7 = 35.

Көп кетирилген каталар

• Тең капталдуу үч бурчтук жөнүндөгү маселеде үч бурчтуктун барабарсыздыгын текшербөө.
• Синустар теоремасын жакка жана ага каршы жатпаган бурчка колдонуу.
• Сүрөттө кесиндилер эки бурчту тең экиге бөлсө, ошол эле чекит аркылуу өткөн үчүнчү кесинди да биссектриса болот — муну байкаш керек, сүрөттү «өлчөп» отурбай.