Планиметрия: төрт бурчтуктар, айлана жана көп бурчтуктар

Тесттеги геометриянын экинчи чоң бөлүгү — параллелограммдар, трапециялар, айланалар, секторлор жана туура көп бурчтуктар.

Параллелограмм

• Карама-каршы жактары жана бурчтары барабар, коңшу бурчтарынын суммасы 180°.
• Диагоналдары кесилишкен чекитинде тең экиге бөлүнөт.
• S = a × h = a × b × sin α.

1-мисал. ABCD — параллелограмм, N — диагоналдардын кесилишкен чекити, K чекити BD диагоналында жатат, BK : KD = 1 : 3, BD = 8. DN/NK ны тапкыла. BN = ND = 4, BK = 2, демек NK = 4 − 2 = 2, DN/NK = 4/2 = 2. Ыңгайлуу ыкма: кесиндинин узундугун бардык бөлүктөргө эселүү болгон белгилүү бир сан деп алуу.

Трапеция

• S = (a + b)/2 × h; орто сызыгы (a + b)/2 ге барабар.
• Трапециянын диагоналдары BC : AD коэффициенти менен окшош BOC жана DOA үч бурчтуктарын түзөт, ошондуктан BO : OD = CO : OA = BC : AD.

2-мисал. Трапецияда BC = 4, AD = 10, BO = 2. Анда OD = 2 × 10/4 = 5, BD = 7.

Ичтен жана сырттан сызылган айланалар

• Төрт бурчтукка айлана ичтен сызууга болот ⇔ карама-каршы жактарынын суммалары барабар: AB + CD = BC + AD.
• Төрт бурчтукту айлана менен сырттан сызууга болот ⇔ карама-каршы бурчтарынын суммасы 180°.

3-мисал. ABCD төрт бурчтугуна айлана ичтен сызылган, AB : CD = 5 : 3, BC = 7, AD = 9. AB + CD = 16; 5k + 3k = 16, k = 2, AB = 10, CD = 6.

Айлана жана сектор

• Айлананын узундугу 2πR, тегеректин аянты πR².
• Бурчу α болгон сектор: S = πR² × α/360°, жаанын узундугу πRα/180°.
• Ичтен сызылган бурч ошол эле жаага таянган борбордук бурчтун жарымына барабар; диаметрге таянган бурч тик бурч.
• Диаметрдин эки жагындагы чектеш борбордук бурчтардын суммасы 180°.

4-мисал. Бурчу 40° болгон сектордун аянты S ке барабар. Ошол эле тегеректин бурчу 100° болгон секторунун аянты S × 100/40 = 5S/2.

5-мисал. Радиусу R₁ болгон тегеректин 90° секторунун аянты радиусу R₂ болгон тегеректин 40° секторунун аянтына барабар. R₁/R₂ ни тапкыла. πR₁²/4 = πR₂² × 40/360 = πR₂²/9, R₁²/R₂² = 4/9, R₁/R₂ = 2/3.

Туура алты бурчтук

• Жагы a болгон 6 туура үч бурчтуктан турат; сырттан сызылган айлананын радиусу a га барабар.
• Ички бурчу 120°; S = 6 × a²√3/4 = 3√3a²/2.
• Чоң диагоналы 2a, кичине диагоналы a√3.

6-мисал. a = 2 болсо: S = 6 × 4√3/4 = 6√3, чоң диагоналы 4, кичинеси 2√3.

Көп кетирилген каталар

• Ичтен сызылган айлананын шартын (жактар) сырттан сызылган айлананын шарты (бурчтар) менен чаташтыруу.
• Секторлордун аянттарынын катышын радиустардын квадраттары боюнча эмес, радиустар боюнча эсептөө.
• «Көз менен» жыйынтык чыгаруу: берилгендерди жана фигуралардын касиеттерин гана колдонгула.