Векторлор жана координаталар

Предметтик тестте векторлор жана координаталар көбүнчө кесиндини берилген катышта бөлүү, карама-каршы векторлорду табуу жана тегиздиктеги, мейкиндиктеги чекиттер менен иштөө жөндөмүн текшерет.

Векторлор

• Башы A(x₁; y₁), учу B(x₂; y₂) болгон AB векторунун координаталары (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
• BA = −AB: узундугу ошондой, бирок карама-каршы багытталган вектор.
• k > 0 болсо k × a⃗ вектору a⃗ менен багыттас, k < 0 болсо карама-каршы багытталган.
• Параллель түз сызыктардагы векторлор коллинеардуу: бири экинчисин санга көбөйткөнгө барабар.

Кесиндини бөлүү

P чекити MN кесиндисинде жатып, MP : PN = m : n болсо, MP = m/(m + n) × MN (векторлор катары).

1-мисал. K чекити AB кесиндисинде, AK : KB = 3 : 1, AB вектору = b⃗. AK = ¾b⃗, KB = ¼b⃗, ал эми BK = −¼b⃗ (B дан K га карай багыт b⃗ га карама-каршы).

2-мисал. ABCD — трапеция, BC ∥ AD, AD = 3BC. BC жана AD векторлору багыттас, ошондуктан AD = 3 × BC, ал эми DA = −3 × BC.

Координаталык түз сызык

a жана b чекиттеринин ортосунда k бирдей кесинди белгиленсе, бирөөнүн узундугу (b − a)/k.

3-мисал. −2 менен 4түн ортосунда төрт бирдей кесинди бар. Бирөөнүн узундугу 6/4 = 1,5. Экинчи бөлүү чекити: −2 + 2 × 1,5 = 1.

Тегиздик

• Кесиндинин ортосу: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).
• Аралык: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

4-мисал. A(1; 2), B(7; 10): ортосу (4; 6), AB = √(36 + 64) = 10.

5-мисал. Жагы 2 болгон OABC квадраты биринчи чейректе жатат, C(2; 0). D(d; 0) чекити O дон сол жакта, ал эми чокулары D, C жана B(2; 2) болгон үч бурчтуктун аянты квадраттын аянтына барабар. Негизи DC = 2 − d, бийиктиги 2: ½ × (2 − d) × 2 = 4, мындан 2 − d = 4, d = −2.

Бүтүн сандуу чекиттер

Эки координатасы тең бүтүн сан болгон чекит бүтүн сандуу чекит деп аталат. (0; 0) дон (6; 4) кө чейинки кесиндиде мындай чекиттер (0; 0), (3; 2), (6; 4): алардын саны ЭЧОБ(6; 4) + 1 = 3. |x| + |y| = 1 фигурасы — чокулары (±1; 0), (0; ±1) болгон квадрат; анда так 4 бүтүн сандуу чекит бар.

Oxyz мейкиндиги

• Oxy тегиздигинде z = 0, Oyz те x = 0, Oxz те y = 0.
• Ox огунда эки координата нөлгө барабар: (a; 0; 0).
• Кесиндинин эки учу тең тегиздикте жатса, кесинди ошол тегиздикте жатат.

6-мисал. (3; 0; −2) чекити Oxz тегиздигинде, ал эми (0; 5; 1) Oyz тегиздигинде жатат.

Көп кетирилген каталар

• MP жана PM векторлорун чаташтыруу (белгиси!).
• Бөлүктөрдүн катышын (2 : 3) бүтүндөн алынган үлүш (2/5) менен чаташтыруу.
• Координаталар менен эмес, сүрөт боюнча эсептөө.