Стереометрия: куб, призма жана айлануу телолору

Предметтик тестте көбүнчө стереометрияга 2–3 тапшырма болот: көлөмдөр, беттердин аянттары, кубдун диагоналдары жана айлануудан пайда болгон телолор.

Куб жана тик бурчтуу параллелепипед

• Кыры a болгон куб: V = a³, толук бетинин аянты S = 6a², грандын диагоналы a√2, кубдун диагоналы a√3.
• a × b × c параллелепипеди: V = abc, S = 2(ab + bc + ac), диагоналы √(a² + b² + c²).

Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар

• Призма: V = S(негиз) × h. Бийиктиктери бирдей призмалардын көлөмдөрү негиздеринин аянттарындай катышта болот.
• Пирамида: V = ⅓ × S(негиз) × h.
• Цилиндр: V = πr²h, каптал бети 2πrh.
• Конус: V = ⅓πr²h.
• Шар: V = (4/3)πR³, сферанын аянты 4πR².
• Окшоштук коэффициенти k болгон телолордо аянттар k² эсе, көлөмдөр k³ эсе айырмаланат.

Айлануу телолору

• Тик бурчтук өзүнүн жагын тегерете айланса → цилиндр (ошол жак — бийиктик, экинчи жак — радиус).
• Тик бурчтуу үч бурчтук катетин тегерете айланса → конус.
• Куб кырын тегерете айланса → бийиктиги a, радиусу октон эң алыскы аралыкка, башкача айтканда грандын диагоналына a√2 ге барабар цилиндр.

Чыгарылган мисалдар

1-мисал. 3 × 5 тик бурчтугу 5 жагын тегерете айланат: цилиндр r = 3, h = 5, V = π × 9 × 5 = 45π. 3 жагын тегерете айланса: r = 5, h = 3, V = 75π.

2-мисал. Кубдун көлөмү 27. Кубдун диагоналын жана кубду кырын тегерете айландырганда пайда болгон телонун көлөмүн тапкыла. a = 3, диагоналы 3√3. r = 3√2, h = 3, V = π × 18 × 3 = 54π.

3-мисал. Кыры 4 болгон кубду кыры 1 болгон кубиктерге бөлүштү. Кубиктер 4³ = 64, алардын жалпы бетинин аянты 64 × 6 = 384, баштапкы кубдуку 6 × 16 = 96. Беттин аянты 4 эсе, башкача айтканда a эсе чоңойду.

4-мисал. 2 × 3 × 6 параллелепипединин диагоналы √(4 + 9 + 36) = 7.

5-мисал. Кыры a болгон ABCDA₁B₁C₁D₁ кубунда E чекити DC кырын DE : EC = 1 : 2 катышында бөлөт. BB₁ жана E аркылуу өткөн тегиздик кубду эки призмага бөлөт. Чоңунун көлөмү кичинесиникинен канча эсе чоң? Бийиктиктери бирдей (a), негиздерин салыштырабыз. BCE үч бурчтугу: ½ × a × (2a/3) = a²/3. Квадраттын калган бөлүгү: a² − a²/3 = 2a²/3. Жообу: 2 эсе.

6-мисал. Шардын радиусу 2 эсе чоңойтулду — көлөмү 2³ = 8 эсе, бетинин аянты 4 эсе чоңоёт.

Көп кетирилген каталар

• Цилиндрдин радиусу катары грандын диагоналын эмес, кубдун кырын алуу.
• Толук беттин аянтын (6a²) көлөм (a³) менен чаташтыруу.
• Пирамида менен конустун формулаларындагы ⅓ ди унутуу.