Бөлүнүүчүлүк, жуп-так сандар жана калдыктар

Бүтүн сандар жөнүндөгү тапшырмалар бардык маанилерди текшерүү менен эмес, ой жүгүртүү менен чыгарылат. Жооп варианттарынын көбүн бир эле касиет менен – жуп-тактык же бөлүнүүчүлүк менен – четтетсе болот.

Жуп жана так сандар

• жуп ± жуп = жуп; так ± так = жуп; жуп ± так = так;
• көбөйтүүчүлөрдүн жок дегенде бири жуп болсо, көбөйтүндү жуп;
• катар турган эки бүтүн сандын көбөйтүндүсү n(n + 1) дайыма жуп;
• 2a + 1 дайыма так, 2a дайыма жуп.

Калдыктар

• Сан m ге бөлүнгөндө r калдык берсе, аны m × k + r түрүндө жазса болот.
• Сумманын (көбөйтүндүнүн) калдыгы калдыктардын суммасынын (көбөйтүндүсүнүн) калдыгына барабар.

Бөлүнүүчүлүктүн белгилери

• 2ге – акыркы цифрасы жуп; 5ке – акыркы цифрасы 0 же 5; 10го – акыркы цифрасы 0;
• 3кө (9га) – цифраларынын суммасы 3кө (9га) бөлүнөт;
• x жана y цифраларынан турган эки орундуу сан 10x + y ке барабар. Ошол эле цифралар тескери иретте жазылган сан менен суммасы 11(x + y), айырмасы 9(x − y).

Мисалдар

1-мисал. m – так, n – жуп. Төмөнкүлөрдүн кайсылары жуп: m + n, mn, m² + 1, m + 2n? m + n – так; mn – жуп (жуп көбөйтүүчү бар); m² так, m² + 1 – жуп; 2n жуп, m + 2n – так. Жуптары: mn жана m² + 1.

2-мисал. n саны 7ге бөлүнгөндө 4 калдык берет. n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 сандарынын кайсынысы 7ге калдыксыз бөлүнөт? n = 7k + 4, n + 3 = 7k + 7 = 7(k + 1). Жооп: n + 3.

3-мисал. x = 6a + 5, y = 6b + 2 (a, b – бүтүн сандар). xy ти 6га бөлгөндөгү калдыкты табыңыз. Калдыктар 5 жана 2, алардын көбөйтүндүсү 10, ал эми 10ду 6га бөлгөндө калдык 4.

4-мисал. Эки орундуу сан менен ошол эле цифралар тескери иретте жазылган сандын айырмасы төмөнкүлөрдүн кайсынысы болушу мүмкүн: 34, 45, 50, 62? Айырма 9(x − y), башкача айтканда 9га бөлүнөт. Жалгыз 45 туура келет.

Көп кетирилген каталар

• «Бардык бүтүн a үчүн» деген ырастоону бир эле сан менен текшерүү. Жокко чыгаруу үчүн бир мисал жетиштүү (a = 0 көп учурда a² < a ны жокко чыгарат), ал эми далилдөө үчүн ой жүгүртүү керек.
• 0 жуп сан экенин унутуу.