Узундуктар жана аянттар: Пифагордун теоремасы, төрт бурчтуктар, тегерек

Бул жерде ЖРТнын экинчи бөлүгүндө эң көп керек болуучу формулалар чогултулду.

Пифагордун теоремасы

Тик бурчтуу үч бурчтукта c² = a² + b², мында c – гипотенуза. Пайдалуу үчтүктөр: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13; 8, 15, 17.

Маселеде кайсы жак гипотенуза экени айтылбаса, эки учурду тең карап чыгыңыз: катеттер 6 жана 8 болсо гипотенуза 10, ал эми катет 6 жана гипотенуза 8 болсо, экинчи катет √(64 − 36) = √28 = 2√7.

Тең капталдуу үч бурчтук

Негизге түшүрүлгөн BH бийиктиги негизди тең экиге бөлөт. Сүрөттө AB = BC = 10, AC = 16, ошондуктан AH = 8, BH = √(10² − 8²) = 6, аянты ½ × 16 × 6 = 48.

Аянттар

• Тик бурчтук: a × b; квадрат: a².
• Параллелограмм: негизи × бийиктиги.
• Үч бурчтук: ½ × негизи × бийиктиги.
• Трапеция: ½ × (a + b) × h.
• Тегерек: πr²; айлананын узундугу: 2πr.
• Бардык узундуктар k эсе чоңойсо, аянт k² эсе чоңоет. Ошондуктан тегеректердин аянттары 9 : 4 болуп катышса, радиустары жана айланаларынын узундуктары 3 : 2 болуп катышат.

Мисалдар

1-мисал. ABCD параллелограммында BH бийиктиги AD га түшүрүлгөн, ∠A = 45°, AH = 5, HD = 7. Аянтын табыңыз. ABH – бир бурчу 45° болгон тик бурчтуу үч бурчтук, ошондуктан BH = AH = 5. AD = 12, S = 12 × 5 = 60.

2-мисал. Борборлору ABC үч бурчтугунун чокуларында жаткан үч айлана бири-бирин сырттан жуп-жубу менен жанып өтөт. AB = 8, BC = 9, AC = 11. Радиустарды табыңыз. a + b = 8, b + c = 9, a + c = 11. Кошобуз: 2(a + b + c) = 28, a + b + c = 14. Анда c = 14 − 8 = 6, a = 14 − 9 = 5, b = 14 − 11 = 3.

3-мисал. Тең капталдуу үч бурчтуктун периметри 36, каптал жагы 13. Негизге түшүрүлгөн бийиктикти табыңыз. Негизи 36 − 26 = 10, анын жарымы 5, бийиктиги √(169 − 25) = 12.

4-мисал. Катеттери AB = 2 жана BC = 4 болгон ABC тик бурчтуу үч бурчтугунун AC гипотенузасына катети CD = 4 жана гипотенузасы AD болгон ACD тик бурчтуу үч бурчтугу тургузулган. AD ны табыңыз. AC² = 4 + 16 = 20, AD² = 20 + 16 = 36, AD = 6.

Көп кетирилген каталар

• Аянттар узундуктардын квадраттарындай катышаарын унутуу.
• Параллелограммдын каптал жагын бийиктик деп эсептөө.