Алгебраические преобразования: формулы, степени и корни

Задания на упрощение выражений встречаются в каждом варианте. Почти всегда «длинное» вычисление заменяется одной формулой.

Формулы сокращённого умножения

• $\displaystyle (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$, $\displaystyle (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
• $\displaystyle a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$
• $\displaystyle a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$
• $\displaystyle a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$

Полезные следствия: $\displaystyle a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = (a - b)^{2} + 2ab$

Свойства степеней

• $\displaystyle a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $\displaystyle a^{m} : a^{n} = a^{m-n}$

Свойства корней

• $\displaystyle \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$

Разобранные примеры

Пример 1. $\displaystyle 47^{2} - 53^{2} = (47 - 53)(47 + 53) = -6 \times 100 = -600$

Пример 2. Если $\displaystyle x - y = 4$ и $\displaystyle xy = 5$, найдите $\displaystyle x^{2}y - xy^{2}$

Пример 3. Упростите $\displaystyle \frac{x - 8}{x^{\frac{1}{3}} - 2}$

Пример 4. $\displaystyle \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3} = \sqrt{48}$

Пример 5. Если $\displaystyle 3^{x} = k$, то $\displaystyle 9^{x + 1} = 9 \times 9^{x} = 9 \times (3^{x})^{2} = 9k^{2}$

Пример 6. $\displaystyle (a^{-1} - b^{-1}) : (a^{-1}b^{-1}) = \frac{b - a}{ab} \times ab = b - a$

Пример 7. Если $\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b} = 4$

Типичные ошибки

• $\displaystyle (a + b)^{2} \ne a^{2} + b^{2}$