Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Эти задания проверяют одно главное правило: как ведут себя функции $\displaystyle y = a^{x}$ и $\displaystyle y = \log_{a}x$ в зависимости от основания.

Монотонность решает всё

• Если $\displaystyle a > 1$, функции $\displaystyle a^{x}$ и $\displaystyle \log_{a}x$ возрастают: знак неравенства сохраняется.

Показательные уравнения

Приведите обе части к одному основанию или вынесите общий множитель.

Пример 1. $\displaystyle 2^{x - 1} = 32 = 2^{5}$, значит $\displaystyle x - 1 = 5$, $\displaystyle x = 6$

Пример 2. $\displaystyle 5^{x + 1} + 3 \times 5^{x} = 200$. $\displaystyle 5^{x + 1} = 5 \times 5^{x}$

Показательные неравенства

Пример 3. $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} \ge \frac{1}{27}$

Пример 4. $\displaystyle (x + 2) \times 2^{x} \le 0$. Так как $\displaystyle 2^{x} > 0$

Логарифмические уравнения

Пример 5. $\displaystyle \lg x + \lg(x - 3) = 1$. ОДЗ: $\displaystyle x > 3$. Тогда $\displaystyle \lg(x(x - 3)) = \lg 10$

Логарифмические неравенства

Пример 6. $\displaystyle \log_{2}(x - 1) < 3$. Условия: $\displaystyle x - 1 > 0$ и $\displaystyle x - 1 < 2^{3} = 8$

Пример 7. $\displaystyle \log_{0{,}5}(x + 3) > -1$. $\displaystyle -1 = \log_{0{,}5}2$

Пример 8. $\displaystyle 10^{\lg(x + 1)} < 4$. Выражение имеет смысл при $\displaystyle x + 1 > 0$, и тогда $\displaystyle 10^{\lg(x + 1)} = x + 1$

Типичные ошибки

• Не поменять знак при основании меньше 1 (например, 0,7 или $\displaystyle \frac{1}{3}$).
• Забыть ОДЗ логарифма и включить в ответ «лишний» корень.
• Считать, что $\displaystyle 10^{\lg a} = a$ при любом a: это верно только при $\displaystyle a > 0$