Числа: модуль, целая часть, делимость и последняя цифра

В предметном тесте почти в каждом варианте есть 3–5 заданий «на числа»: найти модуль, дробную часть, последнюю цифру степени, количество простых множителей или целые решения уравнения. Они решаются быстро, если знать несколько правил.

Модуль числа

Модуль $\displaystyle \lvert a \rvert$ равен a, если $\displaystyle a \ge 0$, и равен $\displaystyle -a$, если $\displaystyle a < 0$. Модуль всегда неотрицателен: $\displaystyle \lvert -7 \rvert = 7$, $\displaystyle \lvert 0 \rvert = 0$.

• Если известно, что $\displaystyle x < 0$, то $\displaystyle \lvert x \rvert = -x$ (это положительное число).
• $\displaystyle \sqrt{a^{2}} = \lvert a \rvert$

Пример 1. Если $\displaystyle -7{,}2 < x < -6{,}1$ и x — целое число, найдите $\displaystyle \lvert x \rvert$. Между $\displaystyle -7{,}2$ и $\displaystyle -6{,}1$

Целая и дробная часть

Целая часть [x] — наибольшее целое число, не превышающее x. Дробная часть $\displaystyle \{x\} = x - [x]$, она всегда в промежутке $\displaystyle 0 \le \{x\} < 1$.

• $\displaystyle [3{,}7] = 3$, $\displaystyle \{3{,}7\} = 0{,}7$.
• $\displaystyle [-0{,}2] = -1$

Пример 2. $\displaystyle \{3{,}7\} + \{-0{,}2\} = 0{,}7 + 0{,}8 = 1{,}5$.

Последняя цифра степени

Последние цифры степеней повторяются с периодом не больше 4:

• 2: 2, 4, 8, 6, 2, …
• 3: 3, 9, 7, 1, 3, …
• 7: 7, 9, 3, 1, 7, …
• 4: 4, 6, 4, 6, … и 9: 9, 1, 9, 1, …
• 0, 1, 5, 6 в любой натуральной степени оканчиваются на ту же цифру.

Чтобы найти последнюю цифру $\displaystyle 3^{2026}$, делим показатель на 4: $\displaystyle 2026 = 4 \times 506 + 2$. Остаток 2, значит, последняя цифра такая же, как у $\displaystyle 3^{2}$

Пример 3. Последняя цифра $\displaystyle 2^{10} + 7^{3}$: у $\displaystyle 2^{10}$ остаток 10 при делении на 4 равен 2, цифра 4; у $\displaystyle 7^{3}$

Простые множители и делители

Разложите основание на простые множители и умножьте показатели: $\displaystyle 12^{5} = (2^{2} \times 3)^{5} = 2^{10} \times 3^{5}$

Целые решения и целочисленность

Пример 4. x и y — натуральные числа, $\displaystyle x^{2} + 2y^{2} = 19$. Найдите $\displaystyle x + y$. Так как $\displaystyle 2y^{2} < 19$

Если $\displaystyle m = n + \frac{6}{n}$ и m, n целые, то n должно быть делителем 6: $\displaystyle n \in \{\pm1;\ \pm2;\ \pm3;\ \pm6\}$

Запись числа цифрами

Двузначное число с цифрами x и y равно $\displaystyle 10x + y$, трёхзначное с цифрами a, b, c — $\displaystyle 100a + 10b + c$. Если между цифрами x и y вписать цифру 5, получится $\displaystyle 100x + 50 + y$

Типичные ошибки

• Путать $\displaystyle [-2{,}4] = -3$ с «отбрасыванием дробной части» ($\displaystyle -2$).
• Забывать, что $\displaystyle \sqrt{a^{2}} = \lvert a \rvert$