Логарифмы: определение и свойства

Логарифмы есть в каждом варианте предметного теста: вычислить значение, найти x из равенства логарифмов, определить знак логарифма.

Определение

$\displaystyle \log_{a}b$ — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: $\displaystyle \log_{a}b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$, где $\displaystyle a > 0$, $\displaystyle a \ne 1$, $\displaystyle b > 0$.

Обозначения: $\displaystyle \lg b = \log_{10}b$ (десятичный), $\displaystyle \ln b = \log_{e}b$

Основные свойства

• Основное тождество: $\displaystyle a^{\log_{a}b} = b$; например $\displaystyle 10^{\lg 7} = 7$

Знак логарифма

$\displaystyle \log_{a}b > 0$, если a и b лежат «по одну сторону» от 1 (оба больше 1 или оба между 0 и 1). $\displaystyle \log_{a}b < 0$

Разобранные примеры

Пример 1. $\displaystyle 5^{3 \times \log_{5}2} = 5^{\log_{5}2^{3}} = 5^{\log_{5}8} = 8$

Пример 2. $\displaystyle 7^{\frac{1}{2} \times \log_{7}9} = 7^{\log_{7}\sqrt{9}} = 7^{\log_{7}3} = 3$

Пример 3. $\displaystyle 2^{\log_{2}3 + 1} = 2^{\log_{2}3} \times 2^{1} = 3 \times 2 = 6$

Пример 4. $\displaystyle \log_{2}12 - \log_{2}3 = \log_{2}\left(\frac{12}{3}\right) = \log_{2}4 = 2$

Пример 5. Если $\displaystyle \log_{9}27 = \log_{4}x$, найдите x. Запишем через степени 3: $\displaystyle \log_{9}27 = \log_{3^{2}}(3^{3}) = \frac{3}{2}$

Пример 6. Если $\displaystyle \log_{5}x = \log_{5}6 + \log_{5}2 - \log_{5}4$

Пример 7. Пусть $\displaystyle 0 < a < 1$ и $\displaystyle b > 1$. Тогда $\displaystyle \log_{a}b < 0$

Как решать быстрее

• Приводите числа к одному простому основанию: $\displaystyle 4 = 2^{2}$, $\displaystyle 8 = 2^{3}$, $\displaystyle 16 = 2^{4}$

Типичные ошибки

• $\displaystyle \log_{a}(b + c) \ne \log_{a}b + \log_{a}c$