Квадратичная функция, теорема Виета и метод интервалов

Парабола, корни квадратного уравнения и неравенства с множителями — частые темы предметного теста.

Квадратичная функция $\displaystyle y = ax^{2} + bx + c$

• При $\displaystyle a > 0$ ветви вверх (в вершине минимум), при $\displaystyle a < 0$ — вниз (в вершине максимум).
• Абсцисса вершины $\displaystyle x_{0} = -\frac{b}{2a}$

Дискриминант и теорема Виета

$\displaystyle D = b^{2} - 4ac$. При $\displaystyle D > 0$ два корня, при $\displaystyle D = 0$

Пример 1. Высота мяча $\displaystyle h = 20t - 5t^{2}$ (метры, секунды). Когда мяч выше всего и на какой высоте? $\displaystyle a = -5 < 0$, вершина при $\displaystyle t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$

Пример 2. $\displaystyle y = 3x^{2} + bx + c$, корни 1 и $\displaystyle -4$. Найдите b и c. $\displaystyle x_{1} + x_{2} = -3 = -\frac{b}{3}$

Пример 3. Сколько действительных корней у $\displaystyle (x^{2} - 4x)(x^{2} + x + 1) = 0$? $\displaystyle x^{2} - 4x = x(x - 4) = 0$

Метод интервалов

Для неравенства вида $\displaystyle (x - a)(x - b)\ldots \ge 0$ или дроби:

1. Найдите нули всех множителей (и нули знаменателя).
2. Отметьте их на прямой и определите знак на каждом промежутке подстановкой.
3. При переходе через корень чётной кратности (множитель в квадрате) знак не меняется.
4. Положительные множители вроде $\displaystyle 3^{x}$ или $\displaystyle x^{2} + 1$ можно отбросить сразу.

Пример 4. $\displaystyle (x + 2)(x - 1)^{2}(x - 4) \ge 0$. Нули: $\displaystyle -2$, 1, 4. Справа от 4 знак «+», между 1 и 4 «−», при переходе через 1 знак не меняется (квадрат) — тоже «−», левее

Пример 5. Наибольшее целое решение $\displaystyle \frac{x^{2}(x + 1)}{5^{x}} \le 0$. $\displaystyle 5^{x} > 0$

Типичные ошибки

• Забыть, что $\displaystyle x^{2} \ge 0$ обращается в 0 при $\displaystyle x = 0$ и даёт отдельное решение.
• Делить неравенство на выражение, знак которого неизвестен.
• Путать $\displaystyle -\frac{b}{a}$