Тригонометрия: значения, формулы и уравнения

В каждом варианте 3–4 задания по тригонометрии: найти значение, определить знак, упростить выражение или решить простейшее уравнение.

Значения и единицы

$\displaystyle \pi\ \text{рад} = 180^{\circ}$: $\displaystyle \frac{\pi}{6} = 30^{\circ}$, $\displaystyle \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$, $\displaystyle \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$, $\displaystyle \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.

• $\displaystyle \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Знаки по четвертям

Косинус — абсцисса точки на единичной окружности, синус — ордината.

• I четверть ($\displaystyle 0^{\circ}\text{–}90^{\circ}$): все функции положительны
• II ($\displaystyle 90^{\circ}\text{–}180^{\circ}$

Периодичность и формулы приведения

$\displaystyle \sin$ и $\displaystyle \cos$ повторяются через $\displaystyle 360^{\circ}$, $\displaystyle \operatorname{tg}$ и $\displaystyle \operatorname{ctg}$

• $\displaystyle \sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$, $\displaystyle \cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha$

Пример 1. $\displaystyle \sin 750^{\circ} = \sin(750^{\circ} - 720^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$

Основные тождества

• $\displaystyle \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$
• $\displaystyle \operatorname{tg} \alpha \times \operatorname{ctg} \alpha = 1$

Пример 2. $\displaystyle \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Пример 3. Если $\displaystyle \sin \alpha - \cos \alpha = 0{,}5$, найдите $\displaystyle \sin \alpha \times \cos \alpha$. Возводим в квадрат: $\displaystyle 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0{,}25$

Простейшие уравнения ($\displaystyle n \in Z$)

• $\displaystyle \sin x = 0 \Leftrightarrow x = \pi n$; $\displaystyle \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Пример 4. $\displaystyle \cos^{2}x = 1 + \sin^{2}x$. Заменим $\displaystyle \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$

Пример 5. $\displaystyle 2\cos^{2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Типичные ошибки

• Путать $\displaystyle \sin$ и $\displaystyle \cos$ для $\displaystyle 30^{\circ}$ и $\displaystyle 60^{\circ}$: помните, что $\displaystyle \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$