Делимость, чётность и остатки

Задания про целые числа решаются рассуждением, а не перебором. Варианты ответа часто можно отсеять одним свойством: чётностью или делимостью.

Чётность

• чётное ± чётное = чётное; нечётное ± нечётное = чётное; чётное ± нечётное = нечётное;
• если хотя бы один множитель чётный, произведение чётное;
• произведение двух соседних целых чисел $\displaystyle n(n + 1)$ всегда чётное;
• $\displaystyle 2a + 1$ всегда нечётно, $\displaystyle 2a$ всегда чётно.

Остатки

• Если число при делении на $\displaystyle m$ даёт остаток $\displaystyle r$, его можно записать как $\displaystyle m \times k + r$.
• Остаток суммы (произведения) равен остатку от суммы (произведения) остатков.

Признаки делимости

• на 2 – последняя цифра чётная; на 5 – последняя цифра 0 или 5; на 10 – последняя цифра 0;
• на 3 (на 9) – сумма цифр делится на 3 (на 9);
• двузначное число с цифрами $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ равно $\displaystyle 10x + y$. Тогда сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна $\displaystyle 11(x + y)$, а их разность $\displaystyle 9(x - y)$.

Примеры

Пример 1. $\displaystyle m$ – нечётное, $\displaystyle n$ – чётное. Какие числа чётные: $\displaystyle m + n$, $\displaystyle mn$, $\displaystyle m^{2} + 1$, $\displaystyle m + 2n$? $\displaystyle m + n$ – нечётное; $\displaystyle mn$ – чётное (есть чётный множитель); $\displaystyle m^{2}$ нечётно, $\displaystyle m^{2} + 1$ – чётное; $\displaystyle 2n$ чётно, $\displaystyle m + 2n$ – нечётное. Чётные: $\displaystyle mn$ и $\displaystyle m^{2} + 1$.

Пример 2. Число $\displaystyle n$ при делении на 7 даёт остаток 4. Какое из чисел $\displaystyle n + 1$, $\displaystyle n + 2$, $\displaystyle n + 3$, $\displaystyle n + 4$ делится на 7? $\displaystyle n = 7k + 4$, $\displaystyle n + 3 = 7k + 7 = 7(k + 1)$. Ответ: $\displaystyle n + 3$.

Пример 3. $\displaystyle x = 6a + 5$, $\displaystyle y = 6b + 2$ ($\displaystyle a$, $\displaystyle b$ – целые). Найдите остаток от деления $\displaystyle xy$ на 6. Остатки 5 и 2, их произведение 10, а 10 при делении на 6 даёт остаток 4.

Пример 4. Какое из чисел может быть разностью двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке: 34, 45, 50, 62? Разность равна $\displaystyle 9(x - y)$, то есть делится на 9. Подходит только 45.

Типичные ошибки

• Проверять утверждение «для всех целых $\displaystyle a$» на одном числе. Для опровержения достаточно одного примера ($\displaystyle a = 0$ часто опровергает $\displaystyle a^{2} < a$), для доказательства нужно рассуждение.
• Забывать, что 0 – чётное число.