Углы и параллельные прямые

Во многих геометрических заданиях нужно найти угол $\displaystyle x$, пользуясь несколькими простыми фактами.

Базовые факты

• Смежные углы в сумме дают 180°, развёрнутый угол – 180°.
• Вертикальные углы равны.
• Сумма углов вокруг точки – 360°.
• Сумма углов треугольника – 180°. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, в равностороннем все углы по 60°.
• Сумма углов выпуклого $\displaystyle n$-угольника $\displaystyle 180^{\circ} \times (n - 2)$. Угол квадрата 90°, правильного шестиугольника 120°.

Параллельные прямые и секущая

Если $\displaystyle a \parallel b$, то:

• соответственные углы равны: $\displaystyle \angle 1 = \angle 5$, $\displaystyle \angle 2 = \angle 6$, $\displaystyle \angle 3 = \angle 7$, $\displaystyle \angle 4 = \angle 8$

Примеры

Пример 1. На рисунке $\displaystyle a \parallel b$ и $\displaystyle \angle 1 = 52^{\circ}$. Найдите $\displaystyle \angle 6$ и $\displaystyle \angle 7$

Пример 2. Точка B лежит на прямой AC. Из B выходят два луча, образуя с прямой три угла: 40°, $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \beta$, причём $\displaystyle \alpha : \beta = 2 : 5$. Найдите $\displaystyle \beta$

Пример 3. Квадрат и правильный шестиугольник имеют общую вершину и прилегают друг к другу сторонами. Два оставшихся угла $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ вокруг этой вершины в сумме дают? $\displaystyle x + y = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 150^{\circ}$

Пример 4. Угол при вершине равнобедренного треугольника 40°. Найдите угол при основании. $\displaystyle \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = 70^{\circ}$

Советы

• Отмечайте найденные углы прямо на рисунке – часто решение складывается в цепочку из 2–3 шагов.
• Ищите развёрнутые углы и параллельные прямые: они дают уравнения.