Степени и корни: правила, которые проверяет ОРТ

Задания на степени встречаются в обеих частях теста. Почти всегда хватает нескольких правил.

Правила степеней

• $\displaystyle a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$
• $\displaystyle a^{m} : a^{n} = a^{m-n}$
• $\displaystyle (a^{m})^{n} = a^{mn}$
• $\displaystyle (ab)^{n} = a^{n}b^{n}$ и $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$
• $\displaystyle a^{0} = 1$ ($\displaystyle a \ne 0$), $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$
• $\displaystyle (-a)^{n} = a^{n}$ при чётном $\displaystyle n$ и $\displaystyle -a^{n}$ при нечётном $\displaystyle n$

Правила корней

• $\displaystyle \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ при $\displaystyle a, b \ge 0$
• $\displaystyle (\sqrt{a})^{2} = a$, $\displaystyle (k\sqrt{a})^{2} = k^{2} \times a$
• $\displaystyle \sqrt{a^{2}} = \lvert a \rvert$
• $\displaystyle \sqrt{a^{n}}$ при $\displaystyle a > 0$ можно записать как $\displaystyle a^{\frac{n}{2}}$: $\displaystyle \sqrt{4^{x}} = 2^{x}$

Примеры

Пример 1. $\displaystyle (-2a^{2}b^{3})^{4} =$ ? Чётная степень убирает минус: $\displaystyle 2^{4} \times a^{8} \times b^{12} = 16a^{8}b^{12}$.

Пример 2. $\displaystyle \left(\frac{3}{4}\right)^{5} \times \left(\frac{8}{3}\right)^{5} =$ ? Одинаковые показатели – перемножаем основания: $\displaystyle \left(\frac{3}{4} \times \frac{8}{3}\right)^{5} = 2^{5} = 32$.

Пример 3. $\displaystyle (3\sqrt{0{,}4})^{2} =$ ? $\displaystyle 9 \times 0{,}4 = 3{,}6$.

Пример 4. Если $\displaystyle 6^{x} = 2^{x+2}$, то $\displaystyle 3^{x} =$ ? $\displaystyle 6^{x} = 2^{x} \times 3^{x}$, $\displaystyle 2^{x+2} = 4 \times 2^{x}$. Делим обе части на $\displaystyle 2^{x}$: $\displaystyle 3^{x} = 4$.

Пример 5. Если $\displaystyle 3^{a} : 3^{b} = 3^{12}$ и $\displaystyle a + b = 20$, то $\displaystyle a =$ ? $\displaystyle a - b = 12$ и $\displaystyle a + b = 20$, складываем: $\displaystyle 2a = 32$, $\displaystyle a = 16$.

Пример 6. Если $\displaystyle \sqrt{25^{x}} = 125$, то $\displaystyle x =$ ? $\displaystyle \sqrt{25^{x}} = 5^{x}$, $\displaystyle 5^{x} = 125 = 5^{3}$, $\displaystyle x = 3$.

Типичные ошибки

• Складывать показатели при сложении степеней: $\displaystyle 2^{3} + 2^{3} = 16 = 2^{4}$, а не $\displaystyle 2^{6}$.
• Терять минус: $\displaystyle (-x^{3})^{5} = -x^{15}$, а $\displaystyle (-x^{3})^{6} = x^{18}$.
• Считать $\displaystyle (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$.