Длины и площади: теорема Пифагора, четырёхугольники, круг

Здесь собраны формулы, которые чаще всего нужны во второй части ОРТ.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике $\displaystyle c^{2} = a^{2} + b^{2}$, где $\displaystyle c$ – гипотенуза. Полезные тройки: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13; 8, 15, 17.

Если в задаче не сказано, какая сторона гипотенуза, рассмотрите оба случая: при катетах 6 и 8 гипотенуза 10, а при катете 6 и гипотенузе 8 второй катет $\displaystyle \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

Равнобедренный треугольник

Высота BH, проведённая к основанию, делит основание пополам. На рисунке $\displaystyle AB = BC = 10$, $\displaystyle AC = 16$, поэтому $\displaystyle AH = 8$, $\displaystyle BH = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6$

Площади

• Прямоугольник: $\displaystyle a \times b$; квадрат: $\displaystyle a^{2}$.
• Параллелограмм: основание × высота.
• Треугольник: $\displaystyle \frac{1}{2}$

Примеры

Пример 1. В параллелограмме ABCD высота BH опущена на AD, $\displaystyle \angle A = 45^{\circ}$, $\displaystyle AH = 5$, $\displaystyle HD = 7$

Пример 2. Три окружности с центрами в вершинах треугольника ABC попарно касаются извне. $\displaystyle AB = 8$, $\displaystyle BC = 9$, $\displaystyle AC = 11$. Найдите радиусы. $\displaystyle a + b = 8$

Пример 3. Периметр равнобедренного треугольника 36, боковая сторона 13. Найдите высоту к основанию. Основание $\displaystyle 36 - 26 = 10$, половина основания 5, высота $\displaystyle \sqrt{169 - 25} = 12$

Пример 4. Из прямоугольного треугольника ABC с катетами $\displaystyle AB = 2$ и $\displaystyle BC = 4$ построен прямоугольный треугольник ACD с катетом $\displaystyle CD = 4$ и гипотенузой AD. Найдите AD. $\displaystyle AC^{2} = 4 + 16 = 20$

Типичные ошибки

• Забыть, что площади относятся как квадраты длин.
• Считать высотой боковую сторону параллелограмма.