Планиметрия: четырёхугольники, окружность и многоугольники

Вторая большая часть геометрии в тесте — параллелограммы, трапеции, окружности, секторы и правильные многоугольники.

Параллелограмм

• Противоположные стороны и углы равны, сумма соседних углов $\displaystyle 180^{\circ}$.
• Диагонали делятся точкой пересечения пополам.
• $\displaystyle S = a \times h = a \times b \times \sin \alpha$.

Пример 1. ABCD — параллелограмм, N — точка пересечения диагоналей, K на диагонали BD, $\displaystyle BK : KD = 1 : 3$, $\displaystyle BD = 8$. Найдите $\displaystyle \frac{DN}{NK}$

Трапеция

• $\displaystyle S = \frac{a + b}{2} \times h$; средняя линия равна $\displaystyle \frac{a + b}{2}$

Пример 2. В трапеции $\displaystyle BC = 4$, $\displaystyle AD = 10$, $\displaystyle BO = 2$. Тогда $\displaystyle OD = 2 \times \frac{10}{4} = 5$

Вписанная и описанная окружности

• В четырёхугольник можно вписать окружность $\displaystyle \Leftrightarrow$ суммы противоположных сторон равны: $\displaystyle AB + CD = BC + AD$.
• Около четырёхугольника можно описать окружность $\displaystyle \Leftrightarrow$ сумма противоположных углов $\displaystyle 180^{\circ}$

Пример 3. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, $\displaystyle AB : CD = 5 : 3$, $\displaystyle BC = 7$, $\displaystyle AD = 9$

Окружность и сектор

• Длина окружности $\displaystyle 2\pi R$, площадь круга $\displaystyle \pi R^{2}$.
• Сектор с углом α: $\displaystyle S = \pi R^{2} \times \frac{\alpha}{360^{\circ}}$

Пример 4. Площадь сектора с углом $\displaystyle 40^{\circ}$ равна S. Площадь сектора того же круга с углом $\displaystyle 100^{\circ}$ равна $\displaystyle S \times \frac{100}{40} = \frac{5S}{2}$

Пример 5. Площадь сектора $\displaystyle 90^{\circ}$ круга радиуса $\displaystyle R_{1}$ равна площади сектора $\displaystyle 40^{\circ}$

Правильный шестиугольник

• Состоит из 6 правильных треугольников со стороной a; радиус описанной окружности равен a.
• Внутренний угол $\displaystyle 120^{\circ}$; $\displaystyle S = 6 \times \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$

Пример 6. При $\displaystyle a = 2$: $\displaystyle S = 6 \times \frac{4\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$

Типичные ошибки

• Путать условия вписанной окружности (стороны) и описанной (углы).
• Считать отношение площадей секторов по радиусам, а не по квадратам радиусов.
• Делать выводы «на глаз»: используйте только данные и свойства фигур.