Последовательности и прогрессии

В предметном тесте встречаются арифметическая и геометрическая прогрессии, а также последовательности, заданные правилом («каждый следующий член равен…»).

Арифметическая прогрессия

Каждый член получается прибавлением одного и того же числа d (разности).

• $\displaystyle a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$
• $\displaystyle a_{m} - a_{k} = (m - k)d$
• $\displaystyle S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \times \frac{n}{2}$
• Каждый член — среднее арифметическое соседей: $\displaystyle a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Пример 1. $\displaystyle a_{3} = 7$, $\displaystyle a_{8} = 22$. Найдите $\displaystyle S_{10}$

Геометрическая прогрессия

Каждый член получается умножением на одно и то же число q (знаменатель), $\displaystyle q \ne 0$.

• $\displaystyle b_{n} = b_{1} \times q^{n-1}$
• $\displaystyle \frac{b_{m}}{b_{k}} = q^{m - k}$

Пример 2. Седьмой член геометрической прогрессии в 2 раза больше четвёртого. Во сколько раз тринадцатый член больше четвёртого? $\displaystyle \frac{b_{7}}{b_{4}} = q^{3} = 2$

Пример 3. $\displaystyle 3 + 6 + 12 + \ldots + 192$. $\displaystyle q = 2$, $\displaystyle 192 = 3 \times 64 = 3 \times 2^{6}$

Пример 4. $\displaystyle 12 + 6 + 3 + \ldots$ (бесконечно). $\displaystyle q = \frac{1}{2}$, $\displaystyle S = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = 24$

Последовательности, заданные правилом

Если формулы нет, просто выписывайте члены по порядку.

Пример 5. $\displaystyle a_{1} = 1$, $\displaystyle a_{2} = 2$, а каждый член, начиная с третьего, равен произведению двух предыдущих. Найдите $\displaystyle a_{6}$

Пример 6. Каждый член, начиная со второго, на 3 меньше удвоенного предыдущего, $\displaystyle a_{1} = 5$. $\displaystyle a_{2} = 2 \times 5 - 3 = 7$

Типичные ошибки

• Считать номер члена с нуля: в $\displaystyle a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ стоит $\displaystyle n - 1$