Производная: правила и геометрический смысл

Производная — тема, которой нет в основном тесте, но в предметном она встречается в каждом варианте: вычислить $\displaystyle f'(x)$, найти $\displaystyle f'$ в точке, понять знак производной по графику, найти точку с горизонтальной касательной.

Таблица производных

• $\displaystyle c' = 0$, $\displaystyle (kx + b)' = k$

Правила

• $\displaystyle (f + g)' = f' + g'$,

Совет: дроби вида $\displaystyle \frac{1}{(x + 1)^{3}}$ удобнее переписать как $\displaystyle (x + 1)^{-3}$

Разобранные примеры

Пример 1. $\displaystyle f(x) = \ln(x^{2})$. Так как $\displaystyle \ln(x^{2}) = 2 \ln\lvert x \rvert$

Пример 2. $\displaystyle g(x) = \frac{1}{(x + 1)^{3}} = (x + 1)^{-3}$

Пример 3. Касательная к $\displaystyle y = x^{2} - 3x$ в точке $\displaystyle x_{0} = 2$. $\displaystyle f(2) = 4 - 6 = -2$

Геометрический смысл

$\displaystyle f'(x_{0})$ — угловой коэффициент касательной в точке $\displaystyle x_{0}$, то есть тангенс угла её наклона к оси Ox.

• Касательная параллельна оси Ox $\displaystyle \Leftrightarrow f'(x_{0}) = 0$.
• Если $\displaystyle f'(x) > 0$

На рисунке $\displaystyle f(x) = \frac{x^{3}}{3} - x$, $\displaystyle f'(x) = x^{2} - 1$

Пример 4. В каких точках графика $\displaystyle f(x) = \cos 3x$ касательная параллельна оси Ox? $\displaystyle f'(x) = -3 \sin 3x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi n}{3}$

Пример 5. По графику функции нужно выбрать отрицательное число среди $\displaystyle f'(a)$, $\displaystyle f'(b)$, $\displaystyle f'(c)$

Типичные ошибки

• Забыть множитель k у сложной функции: $\displaystyle (\sin 3x)' \ne \cos 3x$.
• Знак у $\displaystyle (\cos x)' = -\sin x$