Текстовые задачи: проценты, смеси, движение и комбинаторика

Около четверти заданий предметного теста — задачи «из жизни». Главное — правильно составить выражение или уравнение.

Проценты

• p% от A равно $\displaystyle A \times \frac{p}{100}$.
• Увеличение на p%: $\displaystyle A \times \left(1 + \frac{p}{100}\right)$; уменьшение: $\displaystyle A \times \left(1 - \frac{p}{100}\right)$
• Если величина B составляет p% от целого, то целое равно $\displaystyle B : \frac{p}{100}$.

Сухое вещество и смеси

При испарении воды (сушке, кипячении) масса «сухого» вещества не меняется. Это и есть уравнение.

Пример 1. Виноград содержит 80% воды. Сколько изюма с влажностью 20% получится из 50 кг винограда? Сухое вещество: $\displaystyle 50 \times 0{,}2 = 10$ кг. В изюме оно составляет 80%, значит масса изюма $\displaystyle 10 : 0{,}8 = 12{,}5$ кг.

Пример 2. Из 20 кг 6-процентного солевого раствора выпарили воду, и концентрация стала 8%. Сколько воды выпарили? Соли $\displaystyle 20 \times 0{,}06 = 1{,}2$ кг. Новая масса $\displaystyle 1{,}2 : 0{,}08 = 15$ кг. Выпарили 5 кг.

Среднее значение

Среднее = сумма всех значений : их количество (не среднее из «средних»!).

Пример 3. Трое рабочих получают по 15000 сомов, двое — по 20000. Средняя зарплата: $\displaystyle (3 \times 15000 + 2 \times 20000) : 5 = 85000 : 5 = 17000$ сомов.

Движение по реке

Скорость по течению $\displaystyle v + u$, против течения $\displaystyle v - u$, где v — собственная скорость, u — скорость течения.

Пример 4. Лодка проходит 60 км по течению за 3 ч, а против течения за 5 ч. $\displaystyle v + u = 20$, $\displaystyle v - u = 12$, откуда $\displaystyle v = 16$

Задачи с буквами

Пример 5. За a тетрадей и b ручек заплатили c сомов; ручка в 2 раза дешевле тетради. Сколько стоит тетрадь? Пусть тетрадь стоит t, ручка $\displaystyle \frac{t}{2}$. $\displaystyle at + \frac{bt}{2} = c$

Комбинаторика и вероятность

• Перестановки n разных предметов: $\displaystyle n! = 1 \times 2 \times \ldots \times n$ ($\displaystyle 5! = 120$, $\displaystyle 6! = 720$

Пример 6. Из 7 учеников выбирают старосту, его заместителя и казначея: $\displaystyle 7 \times 6 \times 5 = 210$ способов. Если выбирают просто троих дежурных, порядок не важен: $\displaystyle 210 : 3! = 35$.

Пример 7. Бросают игральный кубик. Вероятность выпадения числа, большего 4: исходы 5 и 6, $\displaystyle P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Как не ошибиться

• Обозначьте неизвестное одной буквой и запишите, что оно значит.
• Проценты от разных величин складывать нельзя.
• Сравнивайте ответ со здравым смыслом: после выпаривания масса уменьшается, после сушки — тоже.