Векторы и координаты

Векторы и координаты в предметном тесте обычно проверяют умение делить отрезок в отношении, находить противоположные векторы и работать с точками на плоскости и в пространстве.

Векторы

• Вектор AB с началом $\displaystyle A(x_{1};\ y_{1})$ и концом $\displaystyle B(x_{2};\ y_{2})$ имеет координаты $\displaystyle (x_{2} - x_{1};\ y_{2} - y_{1})$.
• $\displaystyle BA = -AB$: противоположный вектор той же длины.
• $\displaystyle k \times \vec{a}$ при $\displaystyle k > 0$ сонаправлен с $\displaystyle \vec{a}$
• Векторы на параллельных прямых коллинеарны: один равен другому, умноженному на число.

Деление отрезка

Если точка P лежит на отрезке MN и $\displaystyle MP : PN = m : n$, то $\displaystyle MP = \frac{m}{m + n} \times MN$

Пример 1. Точка K на отрезке AB, $\displaystyle AK : KB = 3 : 1$, вектор $\displaystyle AB = \vec{b}$

Пример 2. ABCD — трапеция, $\displaystyle BC \parallel AD$, $\displaystyle AD = 3BC$. Векторы BC и AD сонаправлены, поэтому $\displaystyle AD = 3 \times BC$

Координатная прямая

Если между точками a и b отмечено k равных отрезков, длина одного из них $\displaystyle \frac{b - a}{k}$.

Пример 3. Между $\displaystyle -2$ и 4 четыре равных отрезка. Длина одного $\displaystyle \frac{6}{4} = 1{,}5$. Вторая точка деления: $\displaystyle -2 + 2 \times 1{,}5 = 1$

Плоскость

• Середина отрезка: $\displaystyle \left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2};\ \frac{y_{1} + y_{2}}{2}\right)$

Пример 4. A(1; 2), B(7; 10): середина (4; 6), $\displaystyle AB = \sqrt{36 + 64} = 10$.

Пример 5. Квадрат OABC со стороной 2 лежит в первой четверти, C(2; 0). Точка D(d; 0) левее O, и площадь треугольника с вершинами D, C и B(2; 2) равна площади квадрата. Основание $\displaystyle DC = 2 - d$, высота 2: $\displaystyle \frac{1}{2} \times (2 - d) \times 2 = 4$

Целочисленные точки

Точка целочисленная, если обе координаты целые. На отрезке от (0; 0) до (6; 4) такие точки (0; 0), (3; 2), (6; 4): их число равно $\displaystyle \text{НОД}(6;\ 4) + 1 = 3$. Фигура $\displaystyle \lvert x \rvert + \lvert y \rvert = 1$ — квадрат с вершинами $\displaystyle (\pm1;\ 0)$

Пространство Oxyz

• В плоскости Oxy координата $\displaystyle z = 0$, в Oyz $\displaystyle x = 0$, в Oxz $\displaystyle y = 0$.
• На оси Ox две координаты нулевые: (a; 0; 0).
• Отрезок лежит в плоскости, если оба его конца лежат в ней.

Пример 6. Точка $\displaystyle (3;\ 0;\ -2)$ лежит в плоскости Oxz, а (0; 5; 1) — в Oyz.

Типичные ошибки

• Путать вектор MP и PM (знак!).
• Путать отношение частей (2 : 3) с долей от целого ($\displaystyle \frac{2}{5}$).
• Считать по рисунку вместо координат.