Числа: модуль, целая часть, делимость и последняя цифра

В предметном тесте почти в каждом варианте есть 3–5 заданий «на числа»: найти модуль, дробную часть, последнюю цифру степени, количество простых множителей или целые решения уравнения. Они решаются быстро, если знать несколько правил.

Модуль числа

Модуль |a| равен a, если a ≥ 0, и равен −a, если a < 0. Модуль всегда неотрицателен: |−7| = 7, |0| = 0.

• Если известно, что x < 0, то |x| = −x (это положительное число).
• √(a²) = |a| для любого a, а ³√(a³) = a (кубический корень сохраняет знак).
• |a − b| — это расстояние между точками a и b на числовой прямой.

Пример 1. Если −7,2 < x < −6,1 и x — целое число, найдите |x|. Между −7,2 и −6,1 лежит единственное целое число −7. Значит, |x| = 7. Частая ловушка — выбрать ответ −7: модуль не бывает отрицательным.

Целая и дробная часть

Целая часть [x] — наибольшее целое число, не превышающее x. Дробная часть {x} = x − [x], она всегда в промежутке 0 ≤ {x} < 1.

• [3,7] = 3, {3,7} = 0,7.
• [−0,2] = −1 (а не 0!), поэтому {−0,2} = −0,2 − (−1) = 0,8.

Пример 2. {3,7} + {−0,2} = 0,7 + 0,8 = 1,5.

Последняя цифра степени

Последние цифры степеней повторяются с периодом не больше 4:

• 2: 2, 4, 8, 6, 2, …
• 3: 3, 9, 7, 1, 3, …
• 7: 7, 9, 3, 1, 7, …
• 4: 4, 6, 4, 6, … и 9: 9, 1, 9, 1, …
• 0, 1, 5, 6 в любой натуральной степени оканчиваются на ту же цифру.

Чтобы найти последнюю цифру 3²⁰²⁶, делим показатель на 4: 2026 = 4 × 506 + 2. Остаток 2, значит, последняя цифра такая же, как у 3², то есть 9. Помните, что a⁰ = 1.

Пример 3. Последняя цифра 2¹⁰ + 7³: у 2¹⁰ остаток 10 при делении на 4 равен 2, цифра 4; у 7³ цифра 3. Сумма оканчивается на 4 + 3 = 7. Проверка: 1024 + 343 = 1367.

Простые множители и делители

Разложите основание на простые множители и умножьте показатели: 12⁵ = (2² × 3)⁵ = 2¹⁰ × 3⁵. Всего простых множителей (с повторениями) 10 + 5 = 15, различных — два (2 и 3). Если n = p^a × q^b, то число всех делителей n равно (a + 1)(b + 1); у 12⁵ их 11 × 6 = 66.

Целые решения и целочисленность

Пример 4. x и y — натуральные числа, x² + 2y² = 19. Найдите x + y. Так как 2y² < 19, y ≤ 3. Перебор: y = 1 → x² = 17 (нет); y = 2 → x² = 11 (нет); y = 3 → x² = 1, x = 1. Ответ: x + y = 4.

Если m = n + 6/n и m, n целые, то n должно быть делителем 6: n ∈ {±1; ±2; ±3; ±6}. Дальше проверяем варианты ответов.

Запись числа цифрами

Двузначное число с цифрами x и y равно 10x + y, трёхзначное с цифрами a, b, c — 100a + 10b + c. Если между цифрами x и y вписать цифру 5, получится 100x + 50 + y.

Типичные ошибки

• Путать [−2,4] = −3 с «отбрасыванием дробной части» (−2).
• Забывать, что √(a²) = |a|, а не a.
• Считать различные простые множители вместо всех (или наоборот): читайте вопрос внимательно.