Логарифмы: определение и свойства

Логарифмы есть в каждом варианте предметного теста: вычислить значение, найти x из равенства логарифмов, определить знак логарифма.

Определение

logₐb — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐb = c ⇔ aᶜ = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Обозначения: lg b = log₁₀b (десятичный), ln b = logₑb (натуральный, e ≈ 2,718).

Основные свойства

• Основное тождество: a^(logₐb) = b; например 10^(lg 7) = 7
• logₐ1 = 0, logₐa = 1
• logₐ(bc) = logₐb + logₐc
• logₐ(b/c) = logₐb − logₐc
• logₐ(bᵖ) = p × logₐb
• log_(aᵏ) b = (1/k) × logₐb
• Переход к новому основанию: logₐb = log_c b / log_c a
• logₐb × log_b a = 1

Знак логарифма

logₐb > 0, если a и b лежат «по одну сторону» от 1 (оба больше 1 или оба между 0 и 1). logₐb < 0, если они «по разные стороны»: log₀,₅7 < 0, log₃0,5 < 0, а log₀,₅0,2 > 0.

Разобранные примеры

Пример 1. 5^(3 × log₅2) = 5^(log₅2³) = 5^(log₅8) = 8. Множитель перед логарифмом сначала переносим в показатель числа под логарифмом.

Пример 2. 7^(½ × log₇9) = 7^(log₇√9) = 7^(log₇3) = 3.

Пример 3. 2^(log₂3 + 1) = 2^(log₂3) × 2¹ = 3 × 2 = 6.

Пример 4. log₂12 − log₂3 = log₂(12/3) = log₂4 = 2.

Пример 5. Если log₉27 = log₄x, найдите x. Запишем через степени 3: log₉27 = log_(3²)(3³) = 3/2. Тогда log₄x = 3/2, x = 4^(3/2) = (√4)³ = 8.

Пример 6. Если log₅x = log₅6 + log₅2 − log₅4, то x = 6 × 2 / 4 = 3.

Пример 7. Пусть 0 < a < 1 и b > 1. Тогда logₐb < 0 (числа по разные стороны от 1), log_b a < 0, а logₐ(a²) = 2 > 0.

Как решать быстрее

• Приводите числа к одному простому основанию: 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 9 = 3², 27 = 3³.
• Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения.
• Если в показателе стоит логарифм, используйте основное тождество.

Типичные ошибки

• logₐ(b + c) ≠ logₐb + logₐc.
• logₐb / logₐc ≠ logₐ(b/c); это частное равно log_c b.
• Забывают про область допустимых значений: под логарифмом только положительные числа, основание положительно и не равно 1.