Квадратичная функция, теорема Виета и метод интервалов

Парабола, корни квадратного уравнения и неравенства с множителями — частые темы предметного теста.

Квадратичная функция y = ax² + bx + c

• При a > 0 ветви вверх (в вершине минимум), при a < 0 — вниз (в вершине максимум).
• Абсцисса вершины x₀ = −b/(2a); значение в вершине y₀ = y(x₀).
• c — точка пересечения с осью Oy.
• Если известны корни x₁ и x₂, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), а вершина лежит посередине: x₀ = (x₁ + x₂)/2.

Дискриминант и теорема Виета

D = b² − 4ac. При D > 0 два корня, при D = 0 один, при D < 0 действительных корней нет. Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ × x₂ = c/a.

Пример 1. Высота мяча h = 20t − 5t² (метры, секунды). Когда мяч выше всего и на какой высоте? a = −5 < 0, вершина при t = −20/(2 × (−5)) = 2 с, h(2) = 40 − 20 = 20 м. Мяч упадёт, когда h = 0: 5t(4 − t) = 0, t = 4 с.

Пример 2. y = 3x² + bx + c, корни 1 и −4. Найдите b и c. x₁ + x₂ = −3 = −b/3, b = 9. x₁x₂ = −4 = c/3, c = −12.

Пример 3. Сколько действительных корней у (x² − 4x)(x² + x + 1) = 0? x² − 4x = x(x − 4) = 0: корни 0 и 4. У x² + x + 1 дискриминант 1 − 4 < 0, корней нет. Ответ: 2.

Метод интервалов

Для неравенства вида (x − a)(x − b)… ≥ 0 или дроби:

1. Найдите нули всех множителей (и нули знаменателя).
2. Отметьте их на прямой и определите знак на каждом промежутке подстановкой.
3. При переходе через корень чётной кратности (множитель в квадрате) знак не меняется.
4. Положительные множители вроде 3ˣ или x² + 1 можно отбросить сразу.

Пример 4. (x + 2)(x − 1)²(x − 4) ≥ 0. Нули: −2, 1, 4. Справа от 4 знак «+», между 1 и 4 «−», при переходе через 1 знак не меняется (квадрат) — тоже «−», левее −2 снова «+». Неравенство нестрогое, поэтому включаем нули: x ≤ −2, x = 1, x ≥ 4. Изолированную точку x = 1 легко потерять!

Пример 5. Наибольшее целое решение x²(x + 1)/5ˣ ≤ 0. 5ˣ > 0, значит нужно x²(x + 1) ≤ 0. Это верно при x ≤ −1 и при x = 0 (x² = 0). Наибольшее целое решение — 0.

Типичные ошибки

• Забыть, что x² ≥ 0 обращается в 0 при x = 0 и даёт отдельное решение.
• Делить неравенство на выражение, знак которого неизвестен.
• Путать −b/a и b/a в теореме Виета.