Тригонометрия: значения, формулы и уравнения

В каждом варианте 3–4 задания по тригонометрии: найти значение, определить знак, упростить выражение или решить простейшее уравнение.

Значения и единицы

π рад = 180°: π/6 = 30°, π/4 = 45°, π/3 = 60°, π/2 = 90°.

• sin 30° = ½, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2
• cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = ½
• tg 30° = 1/√3, tg 45° = 1, tg 60° = √3; ctg α = 1/tg α
• sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0

Знаки по четвертям

Косинус — абсцисса точки на единичной окружности, синус — ордината.

• I четверть (0°–90°): все функции положительны
• II (90°–180°): sin > 0, остальные отрицательны
• III (180°–270°): tg и ctg > 0, sin и cos < 0
• IV (270°–360°): cos > 0, остальные отрицательны

Периодичность и формулы приведения

sin и cos повторяются через 360°, tg и ctg — через 180°. Лишние полные обороты отбрасываем.

• sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α
• sin(180° + α) = −sin α, cos(180° + α) = −cos α, tg(180° + α) = tg α
• sin(90° − α) = cos α, cos(90° − α) = sin α

Пример 1. sin 750° = sin(750° − 720°) = sin 30° = ½. cos 480° = cos 120° = −cos 60° = −½. tg 315° = tg(315° − 180°) = tg 135° = −1.

Основные тождества

• sin²α + cos²α = 1
• tg α × ctg α = 1, 1 + tg²α = 1/cos²α
• sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1
• (sin α ± cos α)² = 1 ± 2 sin α cos α

Пример 2. tg(π/3) − ctg(π/3) = √3 − 1/√3 = (3 − 1)/√3 = 2/√3.

Пример 3. Если sin α − cos α = 0,5, найдите sin α × cos α. Возводим в квадрат: 1 − 2 sin α cos α = 0,25, откуда sin α cos α = 0,375.

Простейшие уравнения (n ∈ Z)

• sin x = 0 ⇔ x = πn; cos x = 0 ⇔ x = π/2 + πn
• sin x = 1 ⇔ x = π/2 + 2πn; cos x = 1 ⇔ x = 2πn
• tg x = a ⇔ x = arctg a + πn

Пример 4. cos²x = 1 + sin²x. Заменим cos²x = 1 − sin²x: 1 − sin²x = 1 + sin²x, sin²x = 0, x = πn.

Пример 5. 2cos²x − 1 = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ 2x = π/2 + πn ⇔ x = π/4 + πn/2.

Типичные ошибки

• Путать sin и cos для 30° и 60°: помните, что sin 30° = ½ (катет против 30° — половина гипотенузы).
• Определять знак, не сократив угол до промежутка 0°–360°.
• Забывать «+ πn» в ответе уравнения: в вариантах ответа часто есть «почти правильный» ответ с 2πn вместо πn.