Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Эти задания проверяют одно главное правило: как ведут себя функции y = aˣ и y = logₐx в зависимости от основания.

Монотонность решает всё

• Если a > 1, функции aˣ и logₐx возрастают: знак неравенства сохраняется.
• Если 0 < a < 1, они убывают: знак неравенства меняется на противоположный.
• aˣ > 0 при любом x; поэтому aˣ можно спокойно делить и умножать — знак не изменится.
• logₐx определён только при x > 0 (это нужно проверять всегда).

Показательные уравнения

Приведите обе части к одному основанию или вынесите общий множитель.

Пример 1. 2^(x − 1) = 32 = 2⁵, значит x − 1 = 5, x = 6.

Пример 2. 5^(x + 1) + 3 × 5ˣ = 200. 5^(x + 1) = 5 × 5ˣ, поэтому 5ˣ × (5 + 3) = 200, 5ˣ = 25, x = 2. Если в задании просят не x, а, например, 2 × 5^(x + 1), то x искать не нужно: 2 × 5 × 25 = 250.

Показательные неравенства

Пример 3. (1/3)^(2x − 1) ≥ 1/27. 1/27 = (1/3)³. Основание 1/3 < 1, знак меняется: 2x − 1 ≤ 3, x ≤ 2. Ответ: (−∞; 2].

Пример 4. (x + 2) × 2ˣ ≤ 0. Так как 2ˣ > 0, достаточно x + 2 ≤ 0, то есть x ≤ −2.

Логарифмические уравнения

Пример 5. lg x + lg(x − 3) = 1. ОДЗ: x > 3. Тогда lg(x(x − 3)) = lg 10, x² − 3x − 10 = 0, x = 5 или x = −2. x = −2 не входит в ОДЗ. Ответ: x = 5.

Логарифмические неравенства

Пример 6. log₂(x − 1) < 3. Условия: x − 1 > 0 и x − 1 < 2³ = 8. Значит, 1 < x < 9. Целых решений семь: 2, 3, …, 8.

Пример 7. log₀,₅(x + 3) > −1. −1 = log₀,₅2, основание меньше 1, знак меняется: 0 < x + 3 < 2, то есть −3 < x < −1.

Пример 8. 10^(lg(x + 1)) < 4. Выражение имеет смысл при x + 1 > 0, и тогда 10^(lg(x + 1)) = x + 1. Получаем −1 < x < 3.

Типичные ошибки

• Не поменять знак при основании меньше 1 (например, 0,7 или 1/3).
• Забыть ОДЗ логарифма и включить в ответ «лишний» корень.
• Считать, что 10^(lg a) = a при любом a: это верно только при a > 0.
• В вопросе «наименьшее целое решение» проверьте граничную точку: она входит, только если неравенство нестрогое.