Алгебраические преобразования: формулы, степени и корни

Задания на упрощение выражений встречаются в каждом варианте. Почти всегда «длинное» вычисление заменяется одной формулой.

Формулы сокращённого умножения

• (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b²
• a² − b² = (a − b)(a + b)
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Полезные следствия: a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab.

Свойства степеней

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
• a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ
• a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), например 8^(2/3) = (³√8)² = 4
• (−1)ⁿ = 1 при чётном n и −1 при нечётном n

Свойства корней

• √(ab) = √a × √b при a, b ≥ 0; √12 = √(4 × 3) = 2√3
• √(a²) = |a|, ³√(a³) = a
• Избавление от иррациональности: 1/(√5 − √3) = (√5 + √3)/((√5)² − (√3)²) = (√5 + √3)/2

Разобранные примеры

Пример 1. 47² − 53² = (47 − 53)(47 + 53) = −6 × 100 = −600.

Пример 2. Если x − y = 4 и xy = 5, найдите x²y − xy² и x² + y². x²y − xy² = xy(x − y) = 5 × 4 = 20. x² + y² = (x − y)² + 2xy = 16 + 10 = 26. Ключевой приём: вынести общий множитель или выразить всё через данные комбинации, а не искать x и y.

Пример 3. Упростите (x − 8)/(x^(1/3) − 2). Пусть t = x^(1/3), тогда x = t³ и x − 8 = t³ − 8 = (t − 2)(t² + 2t + 4). После сокращения: t² + 2t + 4 = x^(2/3) + 2x^(1/3) + 4.

Пример 4. √12 + √27 − √3 = 2√3 + 3√3 − √3 = 4√3 = √48. В ответах часто пишут результат в виде √(…): внесите множитель под корень, 4√3 = √(16 × 3).

Пример 5. Если 3ˣ = k, то 9^(x + 1) = 9 × 9ˣ = 9 × (3ˣ)² = 9k².

Пример 6. (a⁻¹ − b⁻¹) : (a⁻¹b⁻¹) = ((b − a)/(ab)) × ab = b − a. Отрицательные показатели сначала переписывайте как дроби.

Пример 7. Если √a + √b = 4, то (a − b)/(√a + √b) = √a − √b, потому что a − b = (√a − √b)(√a + √b).

Типичные ошибки

• (a + b)² ≠ a² + b²: не теряйте удвоенное произведение.
• √(a + b) ≠ √a + √b.
• 2^(3x) — это (2ˣ)³, а 2^(x + 3) — это 8 × 2ˣ; не путайте умножение и сложение показателей.
• В задании «тождественно равно» удобно проверить ответ подстановкой простого числа, например x = 1 или x = 4.