Функции: область определения, чётность и графики

В предметном тесте функции появляются в разных видах: найти область определения, проверить чётность, вычислить значение кусочной функции, узнать график по формуле.

Область определения

Ищем значения x, при которых формула имеет смысл:

• знаменатель ≠ 0;
• под корнем чётной степени — выражение ≥ 0;
• под логарифмом — выражение > 0.

Пример 1. Сколько целых чисел в области определения y = √(9 − x²)/(x − 2)? 9 − x² ≥ 0 даёт −3 ≤ x ≤ 3 (целые: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 — семь чисел). Из них убираем x = 2. Ответ: 6.

Чётные и нечётные функции

• Чётная: f(−x) = f(x); график симметричен относительно оси Oy. Примеры: x², |x|, cos x.
• Нечётная: f(−x) = −f(x); график симметричен относительно начала координат. Примеры: x³, 1/x, ³√x, sin x, tg x.
• Обязательное условие — область определения симметрична относительно 0. Поэтому √x не является ни чётной, ни нечётной.
• |x + 1| тоже ни чётная, ни нечётная: сдвиг нарушает симметрию.

Пример 2. f — нечётная функция, f(2) = 5. Тогда f(−2) = −5 и f(2) + f(−2) = 0. Если нечётная функция определена в нуле, то f(0) = 0.

Кусочные функции и композиция

Пример 3. f(x) = x² − 1 при x < 1 и f(x) = 3 − x при x ≥ 1. Найдите f(f(−2)). −2 < 1, поэтому f(−2) = 4 − 1 = 3. Далее 3 ≥ 1, поэтому f(3) = 3 − 3 = 0. Каждый раз сначала выбирайте, какая формула работает для данного x.

Линейная функция

y = kx + b: b — точка пересечения с осью Oy, k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) — угловой коэффициент. Прямая через (0; −2) и (4; 0): k = 2/4 = ½, y = ½x − 2.

Преобразования графиков

• y = f(x) + b — сдвиг вверх на b (вниз при b < 0)
• y = f(x − a) — сдвиг вправо на a (y = |x − 2| — вершина в точке x = 2)
• y = −f(x) — отражение относительно оси Ox
• y = f(−x) — отражение относительно оси Oy
• y = k × f(x) — растяжение по вертикали в k раз; нули функции остаются на месте

На рисунке справа: прямая f(x) проходит через (0; 2) и (3; 0). У графика 2f(x) нуль тот же (x = 3), а точка пересечения с Oy стала (0; 4); у −f(x) — (0; −2).

Пример 4. Для f(x) с графиком через (0; −2) и (4; 0) график y = 3f(x) проходит через (4; 0) и (0; −6).

Графики с модулем

y = |x − a| + b — «галочка» с вершиной (a; b). Чтобы найти, где она пересекает прямую y = c, решите |x − a| = c − b: два решения, если c > b. Пример 5. |x − 2| + 1 = 4 даёт |x − 2| = 3, x = −1 или x = 5. Отрезок между этими точками на прямой y = 4 имеет длину 6.

Типичные ошибки

• Проверять чётность, не посмотрев на область определения.
• Путать направление сдвига: f(x − 2) сдвигает вправо, а не влево.
• В кусочной функции подставлять x не в ту формулу на границе (смотрите, где стоит знак ≥).