Производная: правила и геометрический смысл

Производная — тема, которой нет в основном тесте, но в предметном она встречается в каждом варианте: вычислить f′(x), найти f′ в точке, понять знак производной по графику, найти точку с горизонтальной касательной.

Таблица производных

• c′ = 0, (kx + b)′ = k
• (xⁿ)′ = n × xⁿ⁻¹; например (x⁵)′ = 5x⁴, (x⁻²)′ = −2x⁻³
• (√x)′ = 1/(2√x), (1/x)′ = −1/x²
• (eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ × ln a
• (ln x)′ = 1/x
• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x

Правила

• (f + g)′ = f′ + g′, (c × f)′ = c × f′
• (f × g)′ = f′g + fg′
• (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
• Сложная функция: (f(kx + b))′ = k × f′(kx + b); например (sin 3x)′ = 3cos 3x, (e^(2x))′ = 2e^(2x)

Совет: дроби вида 1/(x + 1)³ удобнее переписать как (x + 1)⁻³, а ln(1/x) или ln(x²) — упростить по свойствам логарифма до дифференцирования.

Разобранные примеры

Пример 1. f(x) = ln(x²). Так как ln(x²) = 2 ln|x|, получаем f′(x) = 2/x.

Пример 2. g(x) = 1/(x + 1)³ = (x + 1)⁻³. g′(x) = −3(x + 1)⁻⁴ = −3/(x + 1)⁴; g′(1) = −3/16.

Пример 3. Касательная к y = x² − 3x в точке x₀ = 2. f(2) = 4 − 6 = −2, f′(x) = 2x − 3, f′(2) = 1. Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) = −2 + (x − 2) = x − 4.

Геометрический смысл

f′(x₀) — угловой коэффициент касательной в точке x₀, то есть тангенс угла её наклона к оси Ox.

• Касательная параллельна оси Ox ⇔ f′(x₀) = 0.
• Если f′(x) > 0 на промежутке, функция там возрастает; если f′(x) < 0 — убывает.
• В точках максимума и минимума гладкой функции f′ = 0.

На рисунке f(x) = x³/3 − x, f′(x) = x² − 1. Функция возрастает при x < −1 и x > 1 (f′ > 0), убывает на (−1; 1) (f′ < 0), а в точках x = ±1 касательная горизонтальна.

Пример 4. В каких точках графика f(x) = cos 3x касательная параллельна оси Ox? f′(x) = −3 sin 3x = 0 ⇔ sin 3x = 0 ⇔ x = πn/3. Например, при x = π/3 точка графика (π/3; −1).

Пример 5. По графику функции нужно выбрать отрицательное число среди f′(a), f′(b), f′(c), f′(d). Ищите точку, где график идёт вниз (слева направо). В вершине «горки» или «ямы» производная равна нулю, а не отрицательна.

Типичные ошибки

• Забыть множитель k у сложной функции: (sin 3x)′ ≠ cos 3x.
• Знак у (cos x)′ = −sin x.
• Возводить отрицательное число в нечётную степень без знака: (−3)³ = −27, поэтому −2/(−3)³ = 2/27.
• Путать знак функции и знак производной: функция может быть отрицательной и при этом возрастать.