Последовательности и прогрессии

В предметном тесте встречаются арифметическая и геометрическая прогрессии, а также последовательности, заданные правилом («каждый следующий член равен…»).

Арифметическая прогрессия

Каждый член получается прибавлением одного и того же числа d (разности).

• aₙ = a₁ + (n − 1)d
• aₘ − aₖ = (m − k)d
• Sₙ = (a₁ + aₙ) × n/2
• Каждый член — среднее арифметическое соседей: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2

Пример 1. a₃ = 7, a₈ = 22. Найдите S₁₀. a₈ − a₃ = 5d = 15, d = 3, a₁ = 7 − 2 × 3 = 1, a₁₀ = 1 + 9 × 3 = 28. S₁₀ = (1 + 28) × 10/2 = 145.

Геометрическая прогрессия

Каждый член получается умножением на одно и то же число q (знаменатель), q ≠ 0.

• bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹
• bₘ / bₖ = q^(m − k) — самая полезная формула для тестов
• Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1
• Бесконечно убывающая (|q| < 1): S = b₁/(1 − q)
• bₙ² = bₙ₋₁ × bₙ₊₁

Пример 2. Седьмой член геометрической прогрессии в 2 раза больше четвёртого. Во сколько раз тринадцатый член больше четвёртого? b₇/b₄ = q³ = 2. b₁₃/b₄ = q⁹ = (q³)³ = 8. Ответ: в 8 раз. Заметьте: q искать не нужно, достаточно выразить нужную степень q через q³.

Пример 3. 3 + 6 + 12 + … + 192. q = 2, 192 = 3 × 64 = 3 × 2⁶, значит членов 7. S₇ = 3 × (2⁷ − 1)/(2 − 1) = 3 × 127 = 381.

Пример 4. 12 + 6 + 3 + … (бесконечно). q = ½, S = 12/(1 − ½) = 24.

Последовательности, заданные правилом

Если формулы нет, просто выписывайте члены по порядку.

Пример 5. a₁ = 1, a₂ = 2, а каждый член, начиная с третьего, равен произведению двух предыдущих. Найдите a₆. a₃ = 1 × 2 = 2, a₄ = 2 × 2 = 4, a₅ = 2 × 4 = 8, a₆ = 4 × 8 = 32.

Пример 6. Каждый член, начиная со второго, на 3 меньше удвоенного предыдущего, a₁ = 5. a₂ = 2 × 5 − 3 = 7, a₃ = 11, a₄ = 19, a₅ = 35.

Типичные ошибки

• Считать номер члена с нуля: в aₙ = a₁ + (n − 1)d стоит n − 1.
• В задачах «во сколько раз» вычитать номера неверно: b₁₀/b₄ = q⁶, а не q⁴.
• Путать «равен сумме двух предыдущих» и «равен сумме всех предыдущих». Перечитайте условие перед выписыванием членов.